Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)矩形OPQR的頂點(diǎn)按逆時(shí)針順序排列，且O（0，0），P（1，t），Q（1-2t，2+t），其中t∈（0，+∞）．
（Ⅰ）求頂點(diǎn)R的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求矩形OPQR在第一象限部分的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為A，由矩形的性質(zhì)可知A到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，由O與Q的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再由P的坐標(biāo)與中點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可表示出R的坐標(biāo)；
（Ⅱ）由矩形頂點(diǎn)O，P及Q的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出|OP|與|PQ|的長(zhǎng)，求出兩者的積即為矩形的面積，然后分1-2t大于等于0和小于0兩種情況考慮，當(dāng)1-2t大于等于0時(shí)，由點(diǎn)R與Q的坐標(biāo)表示出直線RQ的方程，令x=0求出直線與y軸的交點(diǎn)，設(shè)為M，表示出三角形OMR的面積，利用矩形的面積減去三角形OMR的面積即為所求的面積；當(dāng)1-2t小于0時(shí)，設(shè)出直線RQ的方程，令x=0求出直線與y軸的交點(diǎn)，記作N，此時(shí)三角形OPN的面積即為所求的面積，綜上，得到矩形OPQR在第一象限部分的面積S（t）是關(guān)于t的分段函數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)矩形OPQR對(duì)角線的交點(diǎn)為A，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到A為OQ及PR的中點(diǎn)，
∵O（0，0），Q（1-2t，2+t），∴A（

1-2t

2

，

2+t

2

），
又P（1，t），則R的坐標(biāo)為（1-2t-1，2+t-t），即（-2t，2）；（4分）
（Ⅱ）矩形OPQR的面積S₁=|OP|•|PQ|=

1+t2

•

4t2+4

=2（1+t²）．（6分）
1°當(dāng)1-2t≥0時(shí)，設(shè)線段RQ與y軸交于點(diǎn)M，
直線RQ的方程為y-2=t（x+2t），（8分）
得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2t²+2），
△OMR面積為S2=

1

2

OM•xR=2t(1+t2)，
∴S（t）=S₁-S₂=2（1-t）（1+t²）．（10分）
2°當(dāng)1-2t＜0時(shí)，設(shè)線段RQ與y軸交于點(diǎn)N，
直線RQ的方程為y-t=-

1

t

(x-1)，（12分）
點(diǎn)N的坐標(biāo)(0，t+

1

t

)，
S(t)=S△OPN=

t2+1

2t

．（14分）
從而S(t)=

2(1-t)(1+t2)，0＜t≤ 1 2 t2+1 2t   t＞ 1 2

．（16分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及分類討論的數(shù)學(xué)思想．學(xué)生作第二問(wèn)時(shí)注意分點(diǎn)Q在第一象限與第二象限，即2t-1大于等于0和2t-1小于0兩種情況進(jìn)行分類討論．