Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為R，對任意實數(shù)m，n都有f（m+n）=f（m）•f（n）且當(dāng)x＞0時，0＜f（x）＜1．
（1）證明f（0）=1，且x＜0時，f（x）＞1；
（2）證明f（x）在R上單調(diào)遞減．

Answer 1

分析：（1）令m=1，n=0，代入f（m+n）=f（m）•f（n）即可；
（2）利用單調(diào)函數(shù)的定義，設(shè)x₁＜x₂，判斷f（x₂）-f（x₁）＜0即可．

解答：證明：（1）令m=1，n=0，代入f（m+n）=f（m）•f（n）中得：
f（1+0）=f（1）•f（0），即f（1）=f（1）•f（0），
∵1＞0，
∴0＜f（1）＜1，
∴f（0）=1…2分
當(dāng)x＜0時，-x＞0，故得0＜f（-x）＜1，令m=x，n=-x，則m+n=0，代入f（m+n）=f（m）•f（n）中得：
f（x）•f（-x）=f（0）=1，
∴f（x）=

1

f(-x)

＞1…6分
（2）設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0且0＜f（x₂-x₁）＜1，f（x₁）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）•f（x₁）-f（x₁）
=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]，
∵x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＜1，
∴f（x₂-x₁）-1＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R上單調(diào)遞減．

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，著重考查單調(diào)函數(shù)的定義的應(yīng)用，屬于難題．