已知函數(shù)f（x）=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)為
1
2
的點(diǎn)P滿足2
OP
=
OM
+
ON
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求證：y1+y2為定值；
（Ⅱ）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，且n≥2，求Sn；
（Ⅲ）已知an=
1
6
，                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Tn＜m（Sn+1+1）對(duì)一切n∈N*都成立，試求m的取值范圍．
分析：（1）先用
OM
，
ON
表示出
OP
，再由P是MN的中點(diǎn)可得到x1+x2=1，然后代入到y(tǒng)1+y2=f（x1）+f（x2）結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可得到y(tǒng)1+y2=1，得證．
（2）先由（Ⅰ）知當(dāng)x1+x2=1時(shí)，y1+y2=1，然后對(duì)Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)++f(
n-1
n
)進(jìn)行倒敘相加即可得到2Sn=[f(
1
n
)+f(
n-1
n
)]+[(
2
n
)+f(
n-2
n
)]++[f(
n-1
n
)+f(
1
n
)]，再結(jié)合x1+x2=1時(shí)，y1+y2=1可得到Sn=
n-1
2
．
（3）將（2）中的Sn=
n-1
2
．代入到an的表達(dá)式中進(jìn)行整理當(dāng)n≥2時(shí)滿足an=
1
n+1
-
1
n+2
．，然后驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)滿足，再代入到Tn中進(jìn)行求值，當(dāng)Tn＜m（Sn+1+1）對(duì)一切n∈N*都成立時(shí)可轉(zhuǎn)化為m＞
Tn
Sn+1+1
=
n
(n+2)2
=
1
n+
4
n
+4
恒成立，再由均值不等式可求出m的范圍．
解答：解：（1）由已知可得，
OP
=
1
2
(
OM
+
ON
)，
∴P是MN的中點(diǎn)，有x1+x2=1．
∴y1+y2=f（x1）+f（x2）
=log3
3
x1
1-x1
+log3
3
x2
1-x2

=log3(
3
x1
1-x1
•
3
x2
1-x2
)
=log3
3x1x2
(1-x1)(1-x2)

=log3
3x1x2
1-(x1+x2)+x1x2

=log3
3x1x2
1-1+x1x2
=1．
（2）解：由（Ⅰ）知當(dāng)x1+x2=1時(shí)，y1+y2=f（x1）+f（x1）=1
Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)++f(
n-1
n
)，
Sn=f(
n-1
n
)++f(
2
n
)+f(
1
n
)，
相加得
2Sn=[f(
1
n
)+f(
n-1
n
)]+[(
2
n
)+f(
n-2
n
)]++[f(
n-1
n
)+f(
1
n
)]
=
1+1++1
(n-1)個(gè)1

=n-1
∴Sn=
n-1
2
．
（3）解：當(dāng)n≥2時(shí)，
an=
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
=
1
4×
n+1
2
•
n+2
2
=
1
(n+1)(n+2)
=
1
n+1
-
1
n+2
．
又當(dāng)n=1時(shí)，
a1=
1
6
=
1
2
-
1
3
．
∴an=
1
n+1
-
1
n+2
．
Tn=(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)+…+(
1
n+1
-
1
n+2
)=
n
2(n+2)
．
由于Tn＜m（Sn+1+1）對(duì)一切n∈N*都成立，
m＞
Tn
Sn+1+1
=
n
(n+2)2
=
1
n+
4
n
+4

∵n+
4
n
≥4，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，取“=”，
∴
1
n+
4
n
+4
≤
1
4+4
=
1
8

因此m＞
1
8
．
綜上可知，m的取值范圍是(
1
8
，+∞)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列求和的倒敘相加法、數(shù)列的裂項(xiàng)法和均值不等式的應(yīng)用．考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．
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（2）證明：對(duì)任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點(diǎn)M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點(diǎn)M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí)，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問(wèn)：當(dāng)x≥e時(shí)，對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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1
f(n)
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3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實(shí)數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問(wèn)是否存在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l，使得l為曲線C的對(duì)稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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