Question

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AF=1，M是線段EF的中點
（1）求證：AM∥平面BDE；
（2）求證：AM⊥平面BDF；
（3）求三棱錐M-BDE的體積V_M-BDE．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間向量及應用

分析：（1）建立坐標系，利用向量法證明

OE

=

AM

，即可得到AM∥平面BDE；
（2）利用向量法證明AM⊥平面BDF；
（3）根據(jù)三棱錐的體積公式即可求V_M-BDE．

解答： 解：建立如圖的直角坐標系，則各點的坐標分別為：
O（0，0，0），A（0，1，0），B（-1，0，0），C（0，-1，0，），D（1，0，0，），
E（0，-1，1），F(xiàn)（0，1，1），M（0，0，1）．
（1）∵

OE

=（0，-1，1），

AM

=（0，-1，1），
∴

OE

=

AM

，即AM∥OE，
又∵AM?平面BDE，OE?平面BDE，
∴AM∥平面BDE；
（2）∵

BD

=（2，0，0），

DF

=（-1，1，1）
∴

AM

•

BD

=0，

AM

•

DF

=0-1+1=0，
∴AM⊥BD，AM⊥DF，
∵BD∩DF=D，
∴AM⊥平面BDF．
（3）∵AB=

2

，AF=1，
∴BD=AC=2，則OA=1，即四邊形OAF為正方形，
連結OF，交AM于H，
則OH⊥AM，求OH⊥平面BDE，
∵AM∥平面BDE，
∴OH是點M到面BDE的距離．則OH=

1

2

OF=

2

2

，
∵OE=AM=

2

，
∴三棱錐M-BDE的體積V_M-BDE=

1

3

×

1

2

BD•OE•OH=

1

3

×

1

2

×2×

2

×

2

2

=

1

3

．

點評：本題考查的知識點是向量語言表述線線的垂直、平行關系，用空間向量求直線音質(zhì)夾角、距離，用空間向量求平面間的夾角，其中建立空間坐標系，求出各頂點的坐標，進而求出相關直線的方向向量和平面的法向量是解答本題的關鍵．