Question

（2012•鹽城一模）對于函數(shù)f（x），若存在實數(shù)對（a，b），使得等式f（a+x）•f（a-x）=b對定義域中的每一個x都成立，則稱函數(shù)f（x）是“（a，b）型函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f（x）=4^x是否為“（a，b）型函數(shù)”，并說明理由；
（2）已知函數(shù)g（x）是“（1，4）型函數(shù)”，當x∈[0，2]時，都有1≤g（x）≤3成立，且當x∈[0，1]，g（x）=x²+m（1-x）+1（m＞0）．試求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)給出的新定義，當f（x）=4^x時，定義中的等式化為16^a=b，顯然使該式成立的數(shù)對存在，從而說明函數(shù)f（x）=4^x是“（a，b）型函數(shù)”；
（2）由函數(shù)g（x）是“（1，4）型函數(shù)”，得到g（1+x）g（1-x）=4，變形后得到g(x)=

4

g(2-x)

，若x∈[1，2]，則2-x∈[0，1]，由函數(shù)g（x）在[0，1]上的值域即可得到函數(shù)在[1，2]上的值域，而函數(shù)g（x）在[0，1]上的解析式已給出，利用分類討論求出g（x）在[0，1]上的值域，取并集后結合1≤g（x）≤3求解m的取值范圍．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=4^x是“（a，b）型函數(shù)”．
因為由f（a+x）•f（a-x）=b，得4^a+x•4^a-x=16^a=b，所以存在這樣的實數(shù)對，如a=1，b=16．
（2）由題意得，g（1+x）g（1-x）=4，所以當x∈[1，2]時，g(x)=

4

g(2-x)

，其中2-x∈[0，1]，
而x∈[0，1]時，g（x）=x²+m（1-x）+1=x²-mx+m+1＞0，且其對稱軸方程為x=

m

2

，
①當

m

2

＞1，即m＞2時，g（x）在[0，1]上的值域為[g（1），g（0）]，即[2，m+1]，
則g（x）在[0，2]上的值域為[2，m+1]∪[

4

m+1

，2]=[

4

m+1

，m+1]，
由題意得

m+1≤3 4 m+1 ≥1

，此時無解．
②當

1

2

≤

m

2

≤1，即1≤m≤2時，g（x）的值域為[g(

m

2

)，g(0)]，即[m+1-

m2

4

，m+1]，
所以則g（x）在[0，2]上的值域為[m+1-

m2

4

，m+1]∪[

4

m+1

，

4

m+1- m2 4

]，
則由題意得

4 m+1- m2 4 ≤3 m+1≤3

且

m+1- m2 4 ≥1 4 m+1 ≥1

，解得1≤m≤2．
③當0＜

m

2

≤

1

2

，即0＜m≤1時，g（x）的值域為[g(

m

2

)，g(1)]，即[m+1-

m2

4

，2]，
則g（x）在[0，2]上的值域為[m+1-

m2

4

，2]∪[2，

4

m+1- m2 4

]，
=[m+1-

m2

4

，

4

m+1- m2 4

]，
則

m+1- m2 4 ≥1 4 m+1- m2 4 ≤3

，解得：2-

2 6

3

≤m≤1．
綜上所述，所求m的取值范圍是2-

2 6

3

≤m≤2．

點評：本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，考查了函數(shù)的值域，考查了分類討論得數(shù)學思想，解答此題的關鍵是對（2）中函數(shù)g（x）的值域的求法，屬中檔題．