Question

已知函數(shù)f（x）=

|x|(x+6)

x+1

（x≠-1），下列關于函數(shù)g（x）=[f（x）]²-f（x）+a（其中a為常數(shù)）的敘述中：
①?a＞0，函數(shù)g（x）至少有4個零點；
②當a=0時，函數(shù)g（x）有5個不同零點；
③?a∈R，使得函數(shù)g（x）有6個不同零點；
④函數(shù)g（x）有多個不同零點的充要條件是0≤a≤

1

4

．
其中真命題有

 

．（把你認為的真命題的序號都填上）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,函數(shù)零點的判定定理

專題：閱讀型,數(shù)形結合,函數(shù)的性質及應用

分析：畫出函數(shù)f（x）的圖象，令g（x）=0，由判別式小于0，可判斷①；由f（x）=0，1，結合圖象即可判斷②；舉a=

1

8

，解出f（x），結合圖象，即可判斷③；結合圖象，a≥0，同時考慮判別式不小于0，即可求出充要條件，從而判斷．

解答： 解：畫出函數(shù)f（x）的圖象：
令g（x）=0，即
[f（x）]²-f（x）+a=0，
①若判別式小于0，即1-4a＜0，
則方程無實根，函數(shù)g（x）無零點，故①錯；
②a=0時，g（x）=0得f（x）=0或1，由圖象顯然有五個交點，即函數(shù)g（x）有5個不同零點，故②對；
③若a=

1

8

，則由g（x）=0得到f（x）=

2+ 2

4

或

2- 2

4

，由圖象可知有6個交點，故③對；
④函數(shù)g（x）有多個不同零點?g（x）=0有實根?a≥0且1-4a≥0?0≤a≤

1

4

．故④對．
故答案為：②③④．

點評：本題考查函數(shù)的零點個數(shù)問題，轉化為方程有無實根的問題，注意通過圖象觀察，考查數(shù)形結合的能力，屬于中檔題．