Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x），對于任意的x都：f（2-x）=f（2+x），f（4+x）=-f（4-x），求f（0）的值；判斷f（x）的奇偶性并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：在f（2-x）=f（2+x）中，令x=2可得f（0）=f（4），在f（4+x）=-f（4-x）中，令x=0可得f（4）=0，從而可得f（0）；f（4+x）=-f（4-x）可化為f（2+2-x）=-f（2+2+x），再利用f（2-x）=f（2+x）進行變形可得結(jié)論．

解答： 解：由已知f（2-x）=f（2+x），
令x=2，得f（0）=f（2+2）=f（4），
由f（4+x）=-f（4-x），
令x=0，得f（4）=-f（4），即f（4）=0，
∴f（0）=f（4）=0，即f （0）=0；
f（x）為奇函數(shù)，證明如下：
由f（4+x）=-f（4-x）⇒f（2+2-x）=-f（2+2+x），
又∵f（2-x）=f（2+x），
∴f（2+2-x）=f[2-（2-x）]=f（x）=-f（2+2+x）=-f[2-（2+x）]=-f（-x），
∴f（-x）=-f（x），即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．

點評：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，屬中檔題，定義是解決奇偶性的基本方法，準(zhǔn)確理解已知等式并能靈活運用是解決問題的關(guān)鍵．