已知函數.
(1)求的單調區(qū)間;
(2)當時,判斷和的大小,并說明理由;
(3)求證:當時,關于的方程:在區(qū)間上總有兩個不同的解.
(1)單調遞增區(qū)間為,,單調遞減區(qū)間為
(2)當時,
(3)構造函數考慮函數,借助于導數來判定單調性,從而得到極值來判定。
解析試題分析:(1)
當時可解得,或
當時可解得
所以函數的單調遞增區(qū)間為,,
單調遞減區(qū)間為
(2)當時,因為在單調遞增,所以
當時,因為在單減,在單增,所能取得的最小值為,,,,所以當時,.
綜上可知:當時,.
(3)即
考慮函數,
,,
所以在區(qū)間、分別存在零點,又由二次函數的單調性可知:最多存在兩個零點,所以關于的方程:在區(qū)間上總有兩個不同的解
考點:導數的運用
點評:主要是考查了導數在研究函數單調性中的運用,屬于中檔題。
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(14分)已知函數,其中a是實數.設A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))為該函數圖象上的兩點,且x1<x2.
(Ⅰ)指出函數f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)若函數f(x)的圖象在點A,B處的切線互相垂直,且x2<0,證明:x2﹣x1≥1;
(Ⅲ)若函數f(x)的圖象在點A,B處的切線重合,求a的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
設是定義在的可導函數,且不恒為0,記.若對定義域內的每一個,總有,則稱為“階負函數 ”;若對定義域內的每一個,總有,則稱為“階不減函數”(為函數的導函數).
(1)若既是“1階負函數”,又是“1階不減函數”,求實數的取值范圍;
(2)對任給的“2階不減函數”,如果存在常數,使得恒成立,試判斷是否為“2階負函數”?并說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
甲廠以x 千克/小時的速度運輸生產某種產品(生產條件要求),每小時可獲得利潤是元.
(1)要使生產該產品2小時獲得的利潤不低于3000元,求x的取值范圍;
(2)要使生產900千克該產品獲得的利潤最大,問:甲廠應該選取何種生產速度?并求最大利潤.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
某租賃公司擁有汽車100輛,當每輛車的月租金為3000元時,可全部租出,當每輛車的月租金每增加50元時,未租出的車將會增加一輛,租出的車每輛每月需維護費150元,未租出的車每輛每月需要維護費50元.
(1)當每輛車的月租金定為3600元時,能租出多少輛車?
(2)當每輛車的月租金定為多少元時,租賃公司的月收益最大?最大月收益是多少?
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
如圖所示,要用欄桿圍成一個面積為50平方米的長方形花園,其中有一面靠墻不需要欄桿,其中正面欄桿造價每米200元,兩個側面欄桿每米造價50元,設正面欄桿長度為米.
(1)將總造價y表示為關于的函數;
(2)問花園如何設計,總造價最少?并求最小值.
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