Question

已知函數(shù)f(x)＝log_ax＋2x和g(x)＝2log_a(2x＋t－2)＋2x(a＞0，a≠1，t∈R)的圖象在x＝2處的切線互相平行.(Ⅰ)求t的值；(Ⅱ)設(shè)F(x)＝g(x)－f(x)，當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，F(xiàn)(x)≥2恒成立，求a的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ) t＝6.   (Ⅱ) 1＜a≤4

解析:

(Ⅰ)f??(x)＝log_ae＋2，g??(x)＝log_ae＋2，

∵函數(shù)f(x)和g(x)的圖象在x＝2處的切線互相平行，

f??(2)＝g??(2)，∴l(xiāng)og_ae＝log_ae，t＝6.

(Ⅱ)∵t＝6，∴F(x)＝g(x)－f(x)＝2log_a(2x＋4)－log_ax＝log_a，x∈[1，4]，

令h(x)＝＝4x＋，x∈[1，4]，∴h??(x)＝4－＝，x∈[1，4]，

∴當(dāng)1≤x＜2時(shí)，h??(x)＜0，當(dāng)2＜x≤4時(shí)，h??(x)＞0，

∴h(x)在[1，2)是單調(diào)減函數(shù)，在(2，4]是單調(diào)增函數(shù)，

∴h??(x)_min＝h(2)＝32，h??(x)_max＝h(1)＝h(4)＝36，

∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，有F(x) _min＝log_a36，當(dāng)a＞1時(shí)，有F(x) _max＝log_a32.

∵當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，F(xiàn)(x)≥2恒成立，∴F(x) _min≥2，

∴滿足條件的a的值滿足下列不等式組   ①，或   ②

不等式組①的解集為空集，解不等式組②得1＜a≤4，

綜上所述，滿足條件的的取值范圍是：1＜a≤4.