已知函數(shù)f(x)=ax2-2x+1,g(x)=ln(x+1).
(1)求函數(shù)y=g(x)-x在[0,1]上的最小值;
(2)當a≥時,函數(shù)t(x)=f(x)+g(x)的圖像記為曲線C,曲線C在點(0,1)處的切線為l,是否存在a使l與曲線C有且僅有一個公共點?若存在,求出所有a的值;否則,說明理由.
(3)當x≥0時,g(x)≥-f(x)+恒成立,求a的取值范圍.
解析 (1)y′=-1,因為0≤x≤1,所以y′≤0.
所以y=g(x)-x在[0,1]上單調(diào)遞減.
當x=1時,y取最小值為ln2-1.
故y=g(x)-x在[0,1]的最小值為ln2-1.
(2)函數(shù)t(x)的定義域為(-1,+∞),t′(x)=2ax-2+,t′(0)=-1.
所以在切點P(0,1)處的切線l的斜率為-1.
因此切線方程為y=-x+1.
因此切線l與曲線C有唯一的公共點,所以,方程ax2-x+ln(x+1)=0有且只有一個實數(shù)解.顯然,x=0是方程的一個解.
令φ(x)=ax2-x+ln(x+1),則φ′(x)=2ax-1+=.
當a=時,φ′(x)=≥0,于是,φ(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,即x=0是方程唯一的實數(shù)解.
當a>時,由φ′(x)=0,得x1=0,x2=-1∈(-1,0).
在區(qū)間(-1,x2)上,φ′(x)>0,在區(qū)間(x2,0)上,φ′(x)<0.
所以,函數(shù)φ(x)在x2處有極大值φ(x2),且φ(x2)>φ(0)=0.
而當x→-1時,φ(x)→-∞,因此,φ(x)=0在(-1,x2)內(nèi)也有一個解,矛盾.
綜上,得a=.
(3)令h(x)=g(x)-=ln(x+1)+ax2-x,
h′(x)=+ax-1==(x>-1).
若a=0,當x∈[0,+∞)時,h′(x)≤0,則h(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,故h(x)≤h(0)=0,不合題意;
若a≥1,當x∈[0,+∞)時,h′(x)≥0,則h(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,故h(x)≥h(0)=0,符合題意;
若0<a<1,當x∈時,h′(x)≤0,則h(x)在單調(diào)遞減,故h()<h(0)=0,不合題意;
若a<0,當x∈[0,+∞)時,h′(x)≤0,則h(x)在[0,+∞)單調(diào)遞減,故h(1)<h(0)=0,不合題意.
綜上:a的取值范圍是a≥1.
科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年江西省南昌市高一5月聯(lián)考數(shù)學卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)= (a、b為常數(shù)),且方程f(x)-x+12=0有兩個實根為x1=3,x2=4.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設(shè)k>1,解關(guān)于x的不等式f(x)< .
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科目:高中數(shù)學 來源:2015屆遼寧盤錦市高一第一次階段考試數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
(12分)已知函數(shù)f(x)= (a,b為常數(shù),且a≠0),滿足f(2)=1,方程f(x)=x有唯一實數(shù)解,求函數(shù)f(x)的解析式和f[f(-4)]的值.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年山東省萊蕪市高三上學期10月測試理科數(shù)學 題型:解答題
(本小題滿分l2分)
已知函數(shù)f(x)=a-
(1)求證:函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);
(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年湖南省十二校高三第一次聯(lián)考數(shù)學文卷 題型:解答題
( (本小題滿分13分)
已知函數(shù)f(x)=(a-1)x+aln(x-2),(a<1).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)a<0時,對任意x1、x2∈(2,+∞),<-4恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014屆黑龍江省高一期末考試文科數(shù)學 題型:解答題
(12分)已知函數(shù)f(X)=㏒a(ax-1) (a>0且a≠1)
(1)求函數(shù)的定義域 (2)討論函數(shù)f(X)的單調(diào)性
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