Question

如圖，四棱錐的底面是直角梯形，，，和是兩個(gè)邊長為的正三角形，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．

 (Ⅰ)求證：平面；

 (Ⅱ)求證：平面；

 (Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則

∵，，，

∴四邊形為正方形，

∵為的中點(diǎn)，

∴為的交點(diǎn)，

∵，

∴，                      ……………………………..2分

∵，

∴，，

在三角形中，，∴，……………………………4分

∵，∴平面；                ……………………………5分

(Ⅱ)方法1：連接，∵為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，

∴，

∵平面，平面，

∴平面.                                    ……………………………9分

方法2：由(Ⅰ)知平面，又，所以過分別做的平行線，以它們做軸，以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由已知得：

，，

，，，

，

則，，，.

∴

∴

∵平面，平面，

∴平面；              …………………………9分

(Ⅲ) 設(shè)平面的法向量為，直線與平面所成角，

則，即，

解得，令，則平面的一個(gè)法向量為，

又

則，

∴直線與平面所成角的正弦值為.   ………………………14分

【解析】略