【題目】如圖，在三棱錐中， ， ， 為的中點.

（1）求證： ；

（2）設平面平面， ， ，求二面角的平面角的正弦值.

【答案】（1）見解析;（2）.

【解析】試題分析：

(1)由題意可得證得平面，然后利用線面垂直的判斷定理即可證得；

(2)由題意建立空間直角坐標系，結合平面的法向量可得面角的平面角的正弦值是.

試題解析：

（1）設中點為，連接， ，

因為，所以，

又為的中點，

所以.

因為，所以，

因為，所以平面，又平面，

所以

（2）由（1）知，

因為平面平面，平面平面， 平面，

所以平面，又.

以為坐標原點，分別以， ， 為軸， 軸， 軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，

因為， ， ，所以，

由為中點， ， ，得， ，

則， ， ， ， ， ，

設平面的一個法向量為，

由，即取，可得，

因為平面平面，平面平面， 平面，

所以平面，所以平面的一個法向量為，

∴ ，

設二面角的大小為，則

所以，

∴二面角的平面角的正弦值為.

練習冊系列答案
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【題目】某公司在迎新年晚會上舉行抽獎活動，有甲、乙兩個抽獎方案供員工選擇；

方案甲：員工最多有兩次抽獎機會，每次抽獎的中獎率為.第一次抽獎，若未中獎，則抽獎結束.若中獎，則通過拋一枚質地均勻的硬幣，決定是否繼續(xù)進行第二次抽獎，規(guī)定：若拋出硬幣，反面朝上，員工則獲得500元獎金，不進行第二次抽獎；若正面朝上，員工則須進行第二次抽獎，且在第二次抽獎中，若中獎，獲得獎金1000元；若未中獎，則所獲獎金為0元.

方案乙：員工連續(xù)三次抽獎，每次中獎率均為，每次中獎均可獲獎金400元.

（1）求某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金（元）的分布列；

（2）某員工選擇方案乙與選擇方案甲進行抽獎，試比較哪個方案更劃算？

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（Ⅰ）求所抽取樣本的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（Ⅱ）填寫下面的列聯(lián)表，能否有超過95%的把握認為“獲獎與學生的文理科有關”？

附表及公式：

，其中

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知曲線的極坐標方程為，在以極點為直角坐標原點，極軸為軸的正半軸建立的平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（1）寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（2）在平面直角坐標系中，設曲線經過伸縮變換： 得到曲線，若為曲線上任意一點，求點到直線的最小距離.

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【題目】為了調查某高中學生每天的睡眠時間，隨即對20名男生和20名女生進行問卷調查.

（1）現(xiàn)把睡眠時間不足5小時的定義為“嚴重睡眠不足”，從睡眠時間不足6小時的女生中隨機抽取3人，求此3人中恰有一人為“睡眠嚴重不足”的概率；

（2）完成下面列聯(lián)表，并回答是否有的把握認為“睡眠時間與性別有關”？

參考公式： ，

臨界表值：

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【題目】在探究實系數(shù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系時，可按下述方法進行：

設實系數(shù)一元二次方程……①

在復數(shù)集內的根為， ，則方程①可變形為，

展開得.……②

比較①②可以得到：

類比上述方法，設實系數(shù)一元次方程（且）在復數(shù)集內的根為， ，…， ，則這個根的積 __________．

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【題目】在如圖所示的多面體中， 平面， ， ， ， ， ， ， 是的中點.

(1)求證： 平面；

(2)求二面角的余弦值.

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（2）求的單調區(qū)間；

（3）設，其中為的導函數(shù)，證明：對任意.

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（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；

（Ⅲ）當時，函數(shù)在上的最大值為，若存在，使得成立，求實數(shù)b的取值范圍.

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