Question

在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD為矩形，PA=AB，E、F分別為AD、PC的中點(diǎn)，
（1）求證：EF∥面PAB；
（2）求證：EF⊥面PBC．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取PB中點(diǎn)G，連結(jié)AG，F(xiàn)G，證明AEFG為平行四邊形，結(jié)合線面平行的判定定理得到EF∥平面PAB；
（2）證明AG⊥面PBC，利用EF∥AG，證明EF⊥面PBC．

解答： 證明：（1）取PB中點(diǎn)G，連結(jié)AG，F(xiàn)G，
∵F、G分別為PC、PB的中點(diǎn)，
∴FG∥BC，且FG=

1

2

BC，
又E為AD中點(diǎn)，AD與BC平行且相等，
∴AE∥BC，且AE=

1

2

BC，
∴AE∥FG且AE=FG，
∴AEFG為平行四邊形，…（4分）
∴EF∥AG，又AG?面PAB，EF?面PAB，
∴EF∥面PAB．…（6分）
（2）∵PA=AB，
∴AG⊥PB
又PA⊥面ABCD，∴PA⊥BC，而BC⊥AB，
∴BC⊥面PAB，∴BC⊥AG，
∴AG⊥面PBC，…（10分）
又EF∥AG，
∴EF⊥面PBC．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．