Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos

x

2

，x∈R的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ） 設(shè)點B是圖象上的最高點，點A是圖象與x軸的交點，求tan∠BAO的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）化簡可得f（x）=2sin(

x

2

+

π

6

)，易得最小正周期為4π，解不等式2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）過點B作線段BC垂直于x軸于點C．由題意得AC=

3T

4

=3π，BC=2，易得要求正切值．

解答： 解：（Ⅰ）化簡可得f(x)=2

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos

x

2

=

3

sin

x

2

+cos

x

2

=2sin(

x

2

+

π

6

)，
由周期公式可得T=

2π

1 2

=4π．
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為4π，
由2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

可解得4kπ-

4π

3

≤x≤4kπ+

2π

3

，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

]，(k∈Z)；
（Ⅱ）過點B作線段BC垂直于x軸于點C．
由題意得AC=

3T

4

=3π，BC=2，
∴tan∠BAO=

BC

AC

=

2

3π

．

點評：本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及三角函數(shù)恒等變換，屬基礎(chǔ)題．