Question

已知f（x）=（1+mx）（1-x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_n+1xⁿ⁺¹（m∈R，n∈N⁺），其中a₁=a₂=-3．
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）求f（x）展開式中所有含x的奇次冪的項(xiàng)的系數(shù)和．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（Ⅰ）由題意根據(jù)二項(xiàng)式定理可得，a₁=-

C

1 n

+m=-3，a₂=

C

2 n

-m

C

1 n

=-3，由此求得m、n的值．
（Ⅱ）求出 f（1）=a₀+a₁+a₂+…+a₇=0，f（-1）=a₀-a₁+a₂-a₃+…-a₇=-128，即可求得a₁+a₃+a₅+a₇的值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意根據(jù)二項(xiàng)式定理可得，a₁=-

C

1 n

+m=m-n  a₂=

C

2 n

-m

C

1 n

-

n(n-1)

2

-mn，

依題設(shè)，有

m-n=-3 n(n-1) 2 -mn=-3

，解得

m=3 n=6

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 f（x）=（1+3x）（1-x）⁶=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷，
∴f（1）=a₀+a₁+a₂+…+a₇=0，f（-1）=a₀-a₁+a₂-a₃+…-a₇=-128．
∴展開式中所有含x的奇次冪的項(xiàng)的系數(shù)和 a₁+a₃+a₅+a₇=64．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理、賦值法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查觀察能力、運(yùn)算求解能力、推理能力和函數(shù)與方程思想，屬于基礎(chǔ)題．