【題目】已知四邊形是梯形(如圖1)，，，，，E為的中點，以為折痕把折起，使點D到達點P的位置(如圖2)，且.

（1）求證：平面平面；

（2）求點C到平面的距離.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點M，連接，，，根據(jù)，易得，再利用平面幾何知識，由，得到，利用線面垂直的判定定理得到平面，進而由面面垂直的判定定理得證.

（2）由（1）知，平面，為正三角形且邊長為1， 設點C到平面的距離為d，由等體積法求解.

（1）證明：連接，

因為，，，E為的中點，，

所以四邊形是邊長為1的正方形，且.

如圖，取的中點M，連接，，，

因為，

所以，且，.

因為，

所以.

所以

因為，，，

所以，

所以.

因為，

所以平面.

因為平面，

所以平面平面.

（2）由（1）知，平面，，且.

因為，

所以為正三角形且邊長為1.

設點C到平面的距離為d，

則，

所以，

即，

解得.

所以點C到平面的距離為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面是矩形，平面平面，，且，點為的中點.

（1）證明：平面平面；

（2）若直線和平面所成的角為，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】新型冠狀病毒（SARS-COV-2）是2019年在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，主要通過呼吸道飛沫進行傳播，鑒于其特殊的傳播途徑，某科學醫(yī)療機構(gòu)發(fā)現(xiàn)一次性醫(yī)用口罩起著一定的防護作用一般，口罩在投入市場前需做一系列的檢測，其中罩體污點、鼻梁條缺陷、耳繩異常等常規(guī)瑕疵肉眼可見，而耳繩尤為關鍵，會出現(xiàn)耳繩缺失、錯位、錯熔、漏熔四種情況 .現(xiàn)在生產(chǎn)商大多采用全自動生產(chǎn)線生產(chǎn)口罩，某工廠現(xiàn)有甲（1臺本體機拖2臺耳帶機）和乙（1臺本體機拖3臺耳帶機）兩條生產(chǎn)線，已知甲生產(chǎn)線的日產(chǎn)量為7萬只，乙生產(chǎn)線的日產(chǎn)量為10萬只，生產(chǎn)商為了了解是否有必要更換原有的甲生產(chǎn)線，在設備生產(chǎn)狀況相同，不計其他影響的狀態(tài)下，分別統(tǒng)計了兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的1000只口罩的耳繩情況，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：

耳繩情況

合格

缺失

錯位

錯熔

漏熔

甲生產(chǎn)線

950

9

19

11

11

乙生產(chǎn)線

900

19

35

25

21

（1）從乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的1000只口罩中隨機抽取3只，將合格品的只數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學期望；

（2）假設口罩的生產(chǎn)成本為0.4元/只，若耳繩發(fā)生缺陷時可通過人工修復至合格來挽回損失。耳繩缺失、漏熔時人工修復費為0.01元/只；錯位與錯熔時需更換耳繩，其中耳繩成本為0.06元/根，人工修復費為0.02元/只．

①以修復費的平均數(shù)作為判斷依據(jù)，判斷哪一條生產(chǎn)線在每日生產(chǎn)過程中挽回損失時所需費用較少？

②若經(jīng)一次檢驗就合格的口罩，生產(chǎn)商以1元/只的批發(fā)價銷售給市場，經(jīng)人工修復的打八折出售。以該工廠的日平均收入為依據(jù)分析該生產(chǎn)商是否有必要更換甲生產(chǎn)線？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面是矩形，平面平面，，且，點為中點.

（1）證明：平面平面；

（2）直線和平面所成的角為，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中動圓P與圓外切，與圓內(nèi)切.

（1）求動圓圓心P的軌跡方程；

（2）直線l過點且與動圓圓心P的軌跡交于A、B兩點.是否存在面積的最大值，若存在，求出的面積的最大值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐P一ABCD中，AB=AD=2BC=2，BC∥AD，AB⊥AD，△PBD為正三角形．且PA=2．

（1）證明：平面PAB⊥平面PBC；

（2）若點P到底面ABCD的距離為2，E是線段PD上一點，且PB∥平面ACE，求四面體A-CDE的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為．

（1）求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標方程；

（2）已知曲線C3的極坐標方程為，點A是曲線C3與C1的交點，點B是曲線C3與C2的交點，A、B均異于原點O，且，求實數(shù)α的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程】

在直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標方程為.

（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）若點的坐標為，直線與曲線交于，兩點，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】哈爾濱市第三中學校響應教育部門疫情期間“停課不停學”的號召，實施網(wǎng)絡授課，為檢驗學生上網(wǎng)課的效果，高三學年進行了一次網(wǎng)絡模擬考試.全學年共人，現(xiàn)從中抽取了人的數(shù)學成績，繪制成頻率分布直方圖（如下圖所示）.已知這人中分數(shù)段的人數(shù)比分數(shù)段的人數(shù)多人.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求、的值，并估計抽取的名同學數(shù)學成績的中位數(shù)；

（2）若學年打算給數(shù)學成績不低于分的同學頒發(fā)“網(wǎng)絡課堂學習優(yōu)秀獎”，將這名同學數(shù)學成績的樣本頻率視為概率.

（i）估計全學年的獲獎人數(shù)；

（ii）若從全學年隨機選取人，求所選人中至少有人獲獎的概率.

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