Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，拋物線上一點A的橫坐標為x₁（x₁＞0），過點A作拋物線C的切線l₁交x軸于點D，交y軸于點Q，交直線l：y=

p

2

于點M，當|FD|=2時，∠AFD=60°．
（1）求證：△AFQ為等腰三角形，并求拋物線C的方程；
（2）若B位于y軸左側(cè)的拋物線C上，過點B作拋物線C的切線l₂交直線l₁于點P，交直線l于點N，求△PMN面積的最小值，并求取到最小值時的x₁值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A(x1，

x12

2p

)，則A處的切線方程為l1：y=

x1

p

x-

x12

2p

，即可得到得D，Q的坐標，利用兩點間的距離公式即可得到|FQ|=|AF|．由點A，Q，D的坐標可知：D為線段AQ的中點，利用等腰三角形的性質(zhì)可得FD⊥AQ，可得|AF|，利用兩點間的距離概率及點A滿足拋物線的方程即可得出．
（2）設(shè)B（x₂，y₂）（x₂＜0），則B處的切線方程為y=

x2

2

x-

x22

4

，與切線l₁的方程聯(lián)立即可得到點P的坐標，同理求出點M，N的坐標．進而得到三角形PMN的面積S△=

1

2

|MN|•h（h為點P到MN的距離），利用表達式及其導數(shù)即可得到最小值，即可得出x₁的值．

解答：解：（1）設(shè)A(x1，

x12

2p

)，則A處的切線方程為l1：y=

x1

p

x-

x12

2p

，
可得：D(

x1

2

，0)，Q(0，-

x 2 1

2p

)
∴|FQ|=

p

2

+

x 2 1

2p

=|AF|；
∴△AFQ為等腰三角形．
由點A，Q，D的坐標可知：D為線段AQ的中點，
∴|AF|=4，得：

p 2 + x 2 1 2p =4 x 2 1 +p2=16

∴p=2，C：x²=4y．
（2）設(shè)B（x₂，y₂）（x₂＜0），則B處的切線方程為y=

x2

2

x-

x22

4

聯(lián)立

y= x2 2 x- x 2 2 4 y= x1 2 x- x 2 1 4

得到點P(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)，聯(lián)立

y= x1 2 x- x 2 1 4 y=1

得到點M(

x1

2

+

2

x1

，1)．
同理N(

x2

2

+

2

x2

，1)，
設(shè)h為點P到MN的距離，則S△=

1

2

|MN|•h=

1

2

×(

x1

2

+

2

x1

-

x2

2

-

2

x2

)(1-

x1x2

4

)=

(x2-x1)(4-x1x2)2

16x1x2

  ①

設(shè)AB的方程為y=kx+b，則b＞0，
由

y=kx+b x2=4y

得到x²-4kx-4b=0，
得

x1+x2=4k x1x2=-4b

代入①得：S_△=

16k2+16b (4+4b)2

64b

=

(1+b)2 k2+b

b

，
要使面積最小，則應k=0，得到S△=

(1+b)2 b

b

②
令

b

=t，得S△(t)=

(1+t2)2

t

=t3+2t+

1

t

，則

S

′ △

(t)=

(3t2-1)(t2+1)

t2

，
所以當t∈(0，

3

3

)時，S（t）單調(diào)遞減；當t∈(

3

3

，+∞)時，S（t）單調(diào)遞增，
所以當t=

3

3

時，S取到最小值為

16 3

9

，此時b=t2=

1

3

，k=0，
所以y1=

1

3

，解得x1=

2 3

3

．
故△PMN面積取得最小值時的x₁值為

2 3

3

．

點評：本題綜合考查了利用導數(shù)的幾何意義得到拋物線的切線的斜率、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等知識與方法，熟練掌握其解題模式是解題的關(guān)鍵．