Question

如圖：是y=f（x）=

a

3

x³-2x²+3a²x的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的簡(jiǎn)圖，它與x軸的交點(diǎn)是（1，0）和（3，0）
（1）求y=f（x）的極小值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間
（2）求實(shí)數(shù)a的值和極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先利用其導(dǎo)函數(shù)f′（x）圖象，判斷導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)來求其單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得其極小值點(diǎn)；
（2）由圖知，f′（1）=0且f'（3）=0，代入導(dǎo)函數(shù)解析式得到關(guān)于a的方程，解出即可求實(shí)數(shù)a的值和極值．．

解答： 解：（1）由f（x）=

a

3

x³-2x²+3a²x的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象可知：導(dǎo)函數(shù)f′（x）小于0的解集是（1，3）；
函數(shù)f（x）=

a

3

x³-2x²+3a²x在x=1，x=3處取得極值，且在x=3的左側(cè)導(dǎo)數(shù)為負(fù)右側(cè)導(dǎo)數(shù)為正．
即y=f（x）的極小值點(diǎn)是3，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（1，3）．單調(diào)增區(qū)間是（-∞，1），（3，+∞）；
（2）由于f（x）=

a

3

x³-2x²+3a²x的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=ax²-4x+3a²，
又由（1）知，f′（1）=0且f′（3）=0
則

a-4+3a2=0 9a-12+3a2=0

解得 a=1．
y_極大值=f（1）=

4

3

，y_極小值=f（3）=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值問題．