Question

已知⊙O₁和⊙O₂相交于A，B兩點(diǎn)，過A點(diǎn)作⊙O₁的切線交⊙O₂于點(diǎn)E，連接EB并延長交⊙O₁于點(diǎn)C，直線CA交⊙O₂于點(diǎn)D．
（Ⅰ）如圖，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合時(shí)，證明：EA=ED；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，若BC=2，CE=8，求⊙O₁的直徑．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：立體幾何

分析：（Ⅰ）連結(jié)AB，在EA延長線上取一點(diǎn)F，由弦切角定理得∠FAC=∠ABC，又∠ABC是⊙O₂內(nèi)接四邊形ABED外角，由此能證明EA=ED．
（Ⅱ）當(dāng)D與A重合時(shí)，CA與⊙O₂只有一個(gè)公共點(diǎn)，由已知條件推導(dǎo)出AC、AE分別是⊙O₁，⊙O₂的直徑，由此能求出⊙O₁的直徑．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)AB，在EA延長線上取一點(diǎn)F，
∵AE是⊙O₁的切線，∴∠FAC=∠ABC，
又∠ABC是⊙O₂內(nèi)接四邊形ABED外角，
∴∠ABC=∠ADE，∴DAE=∠ADE，
∴EA=ED．
（Ⅱ）當(dāng)D與A重合時(shí)，CA與⊙O₂只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴CA與⊙O₂相切，∠FAC=∠ARC，∠DAE=∠ARE，
∵∠FAC=∠DAE，∴AC、AE分別是⊙O₁，⊙O₂的直徑，
由AC²=CB•CE=2×8=16，
∴AC=4，即⊙O₁的直徑為4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線段長的求法，考查圓的直徑的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意弦切角定理的合理運(yùn)用．