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已知點A、B、C、D的坐標分別為A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），D（-2cosα，-t），α∈（
π
2
，
3π
2
）．
（1）若|
AC
|=|
BC
|，求角α的值；
（2）若
AC
•
BC
=-1，求
2sin2α+2sinαcosα
1+tanα
的值．
（3）若f(α)=
OC
•
OD
-t2+2在定義域α∈（
π
2
，
3π
2
）有最小值-1，求t的值．
（1）∵
AC
=（cosα-3，sinα），
BC
=（cosα，sinα-3），
∴|
AC
|=
(cosα-3)2+sin2α
=
10-6cosα
，
|
BC
|=
(sinα-3)2+cos2α
=
10-6sinα
…（2分）
由|
AC
|=|
BC
|得sinα=cosα，
又α∈（
π
2
，
3π
2
），
∴α=
5π
4
…（5分）
（2）由
AC
•
BC
=-1得（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1．
∴sinα+cosα=
2
3
，①（6分）
又
2sin2α+2sinαcosα
1+tanα
=
2sinα(sinα+cosα)
1+
sinα
cosα
=2sinαcosα．（7分）
由①式兩邊平方得1+2sinαcosα=
4
9
，
∴2sinαcosα=-
5
9
．（8分）
∴
2sin2α+2sinαcosα
1+tanα
=-
5
9
．（9分）
（3）依題意記y=f（α）=-2cos2α-tsinα-t2+2
=-2（1-sin2α）-tsinα-t2+2
=2sin2α-tsinα-t2（10分）
令x=sinα，∵α∈（
π
2
，
3π
2
），
∴sinα∈（-1，1），
∴y=2x2-tx-t2，x∈（-1，1）（11分）
其對稱軸為x=
t
4
，
∵y=2x2-tx-t2在x∈（-1，1）上存在最小值，
∴對稱軸x=
t
4
∈（-1，1），
∴t∈（-4，4）（12分）
當且僅當x=
t
4
時，y=2x2-tx-t2取最小值，為ymin=2×
t2
16
-t•
t
4
-t2=-
9
8
t2=-1，
∴t=±
2
2
3
（14分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知點A、B、C、D的坐標分別為A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），D（-2cosα，-t），α∈（
π
2
，
3π
2
）．
（1）若|
AC
|=|
BC
|，求角α的值；
（2）若
AC
•
BC
=-1，求
2sin2α+2sinαcosα
1+tanα
的值．
（3）若f(α)=
OC
•
OD
-t2+2在定義域α∈（
π
2
，
3π
2
）有最小值-1，求t的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•成都一模）已知點A、B、C、D在同一個球面上，AB丄平面BCD，BC丄BD，若AB=1；BC=2，BD=3，則此球的表面積是
14π
14π
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

(08年安徽卷)已知點A、B、C、D在同一個球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若，，，則B、C兩點間的球面距離是               。

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知點

A．                       B． 

C．         D．

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科目：高中數學 來源：2014屆廣東省汕頭市高一第一學期期末考試數學試卷 題型：解答題

已知點A、B、C、D的坐標分別為A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),

α∈(,).

(1)若||=||，求角α的值；

(2)若·=-1，求的值.

（3）若在定義域α∈(,)有最小值，求的值。

 

 

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