已知點A、B、C、D的坐標(biāo)分別為A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),D(-2cosα,-t),α∈(
π
2
,
2
).
(1)若|
AC
|=|
BC
|,求角α的值;
(2)若
AC
BC
=-1,求
2sin2α+2sinαcosα
1+tanα
的值.
(3)若f(α)=
OC
OD
-t2+2
在定義域α∈(
π
2
,
2
)有最小值-1,求t的值.
分析:(1)利用向量的坐標(biāo)運算與向量的模|
AC
|=|
BC
|,可求得sinα=cosα,從而可求得角α的值;
(2)由
AC
BC
=-1可求得sinα+cosα=
2
3
,從而可求得sin2α,而
2sin2α+2sinαcosα
1+tanα
可化簡為2sinαcosα,從而可得答案;
(3)依題意記y=f(α)=-2cos2α-tsinα-t2+2,令x=sinα,結(jié)合題意可求得y=2x2-tx-t2,x∈(-1,1),利用二次函數(shù)的單調(diào)性與最值即可求得t的值.
解答:解:(1)∵
AC
=(cosα-3,sinα),
BC
=(cosα,sinα-3),
∴|
AC
|=
(cosα-3)2+sin2α
=
10-6cosα
,
|
BC
|=
(sinα-3)2+cos2α
=
10-6sinα
…(2分)
由|
AC
|=|
BC
|得sinα=cosα,
又α∈(
π
2
,
2
),
∴α=
4
…(5分)
(2)由
AC
BC
=-1得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1.
∴sinα+cosα=
2
3
,①(6分)
2sin2α+2sinαcosα
1+tanα
=
2sinα(sinα+cosα)
1+
sinα
cosα
=2sinαcosα.(7分)
由①式兩邊平方得1+2sinαcosα=
4
9
,
∴2sinαcosα=-
5
9
.(8分)
2sin2α+2sinαcosα
1+tanα
=-
5
9
.(9分)
(3)依題意記y=f(α)=-2cos2α-tsinα-t2+2
=-2(1-sin2α)-tsinα-t2+2
=2sin2α-tsinα-t2(10分)
令x=sinα,∵α∈(
π
2
,
2
),
∴sinα∈(-1,1),
∴y=2x2-tx-t2,x∈(-1,1)(11分)
其對稱軸為x=
t
4
,
∵y=2x2-tx-t2在x∈(-1,1)上存在最小值,
∴對稱軸x=
t
4
∈(-1,1),
∴t∈(-4,4)(12分)
當(dāng)且僅當(dāng)x=
t
4
時,y=2x2-tx-t2取最小值,為ymin=2×
t2
16
-t•
t
4
-t2=-
9
8
t2=-1,
∴t=±
2
2
3
(14分)
點評:本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,考查平面向量的坐標(biāo)運算,考查二次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用,屬于難題.
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已知點A、B、C、D的坐標(biāo)分別為A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),

α∈(,).

(1)若||=||,求角α的值;

(2)若·=-1,求的值.

(3)若在定義域α∈(,)有最小值,求的值。

 

 

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