Question

已知橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，F為橢圓在x軸正半軸上的焦點，M、N兩點在橢圓C上，且

MF

=λ

FN

（λ＞0），定點A（-4，0）．
（Ⅰ）求證：當λ=1時

MN

⊥

AF

；
（Ⅱ）若當λ=1時有

AM

•

AN

=

106

3

，求橢圓C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的橢圓中，當M、N兩點在橢圓C上運動時，試判斷

AM

•

AN

×tan∠MAN是否有最大值，若存在，求出最大值，并求出這時M、N兩點所在直線方程，若不存在，給出理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F（c，0），當λ=1時，

MF

=

FN

，-y₁=y₂，x₁+x₂=2c，由M，N兩點在橢圓上，結合已知條件能證明

MN

⊥

AF

．
（Ⅱ）當λ=1時，設M(c，

b2

a

)，N(c，-

b2

a

)，

5

6

c2+8c+16=

106

3

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅲ）

AM

•

AN

×tan∠MAN=2S△AMN=|AF||yM-yN|，設直線MN的方程為y=k（x-2），聯立

y=k(x-2) x2 6 + y2 2 =1

，得（1+3k²）y²+4ky-2k²=0，由此利用弦長公式結合已知條件能求出直線的MN方程．

解答： （Ⅰ）證明：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F（c，0），
則

FM

=(c-x1，-y1)，

NF

=(x2-c，y2)，
當λ=1時，

MF

=

FN

，∴-y₁=y₂，x₁+x₂=2c，
由M，N兩點在橢圓上，
∴

x

2 1

=a2(1-

y 2 1

b2

)，

x

2 2

=a2(1-

y 2 2

b2

)，∴

x

2 1

=

x

2 2

若x₁=-x₂，則x₁+x₂=0≠2c舍，∴x₁=x₂，
∴

MN

=(0，2y2)，

AF

=(c+4，0)，
∴

MN

⊥

AF

．（3分）
（Ⅱ）解：當λ=1時，不妨設M(c，

b2

a

)，N(c，-

b2

a

)，
∴

AM

•

AN

=(c+4)2-

b4

a2

，
又a 2=

3

2

c2，b2=

c2

2

，∴

5

6

c2+8c+16=

106

3

，
橢圓C的方程為

x2

6

+

y2

2

=1．（8分）
（Ⅲ）解：

AM

•

AN

×tan∠MAN=2S△AMN=|AF||yM-yN|，
設直線MN的方程為y=k（x-2），（k≠0）
聯立

y=k(x-2) x2 6 + y2 2 =1

，得（1+3k²）y²+4ky-2k²=0，（10分）
∴|yM-yN|=

24k4+24k2

1+3k2

，
記t=

24k4+24k2

1+3k2

，s=1+3k2，
則t=

24 • ( s-1 3 )2+( s-1 3 )

s

=

2 6

3

•

1+ 1 s - 2 s2

（11分）
∴t≤

3

，當s=4，即k=±1時取等號．
并且，當k=0時

AM

•

AN

×tan∠MAN=0，
當k不存在時|yM-yN|=

2 6

3

＜

3

綜上

AM

•

AN

×tan∠MAN有最大值，最大值為6

3

，
此時，直線的MN方程為x-y-2=0，或x+y-2=0（14分）

點評：本題考查向量垂直的證明，考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．