Question

已知f（x）=cos²x+asinx-

a

4

-

1

2

，a∈R．
（1）當a=2時，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）記函數(shù)f（x）的最大值為M（a），求M（a）的解析式；
（3）求a取何值時，方程f（x）=（a+1）sinx在[0，2π）上有兩個解？

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）當a=2時，求函數(shù)f（x）=-（sinx-1）²+1，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的值域．
（2）f（x）=-(sinx-

a

2

)2+

a2

4

-

a

4

+

1

2

，再分當

a

2

≤-1時、當-1≤

a

2

≤1時、當

a

2

≥1時三種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最大值，綜合可得M（a）的值．
（3）由于當x∈[0，2π）時，任意一個sinx的值（除±1）外，都有2個x值與之對應(yīng)．令t=sinx∈（-1，1），則由題意可得，函數(shù)y=t²+t的圖象和直線y=

2-a

4

在（-1，1）上只有1個交點，數(shù)形結(jié)合可得 0＜

2-a

4

＜2，或

2-a

4

=-

1

4

，由此求得a的范圍．

解答： 解：（1）當a=2時，求函數(shù)f（x）=cos²x+asinx-

a

4

-

1

2

=-sin²x+2sinx=-（sinx-1）²+1，
故當sinx=1時，函數(shù)取得最大值為1；當 sinx=-1時，函數(shù)取得最小值為-3，
故函數(shù)的值域為[-3，1]．
（2）∵f（x）=1-sin²x+asinx-

a

4

-

1

2

=-(sinx-

a

2

)2+

a2

4

-

a

4

+

1

2

，
故當

a

2

≤-1時，最大值為-(-1-

a

2

)2+

a2

4

-

a

4

+

1

2

=-

5a

4

-

1

2

； 當-1≤

a

2

≤1時，最大值為

a2

4

-

a

4

+

1

2

；當

a

2

≥1時，最大值為-(1-

a

2

)2+

a2

4

-

a

4

+

1

2

=

3a

4

-

1

2

．
綜上可得 M（a）=

- 5a 4 - 1 2 ，a≤-2 a2 4 - a 4 + 1 2 ，-2＜a＜2 3a 4 - 1 2 ，a≥2

．
（3）方程f（x）=（a+1）sinx在[0，2π）上有兩個解，即 sin²x+sinx=

2-a

4

 在[0，2π）上有兩個解．
由于當x∈[0，2π）時，任意一個sinx的值（除±1）外，都有2個x值與之對應(yīng)，
令t=sinx∈（-1，1），則由題意可得，函數(shù)y=t²+t的圖象和直線y=

2-a

4

在（-1，1）上只有1個交點，
∴0＜

2-a

4

＜2，或

2-a

4

=-

1

4

； 即-2＜

a-2

4

＜0或a=3，解得-6＜a＜2，或a=3．
故要求的a的范圍是：（-6，2）∪{3}．

點評：本題主要考查求三角函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．