已知橢圓，直線與相交于、兩點(diǎn)，與軸、軸分別相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）若直線的方程為，求外接圓的方程；
（2）判斷是否存在直線，使得、是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.
（1）；（2）存在，且直線的方程為或.

試題分析：（1）先確定三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，利用其外接圓圓心即為該三角形垂直平分線的交點(diǎn)求出外接圓的圓心，并利用兩點(diǎn)間的距離公式求出外接圓的半徑，從而求出外接圓的方程；（2）將、是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化為線段的中點(diǎn)與線段的中點(diǎn)重合，且有，借助韋達(dá)定理與弦長公式進(jìn)行求解.
試題解析：（1）因?yàn)橹本�的方程為，
所以軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).
則線段的中點(diǎn)，，
即外接圓的圓心為，半徑為，
所以外接圓的方程為；
（2）結(jié)論：存在直線，使得、是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn).
理由如下：
由題意，設(shè)直線的方程為，，，
則，，
由方程組得，
所以，（*）
由韋達(dá)定理，得，.
由、是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，得線段的中點(diǎn)與線段的中點(diǎn)重合.
所以，
解得.
由、是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，得.
所以，
即，
解得.
驗(yàn)證知（*）成立.
所以存在直線，使得、是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，此時(shí)直線l的方程為，
或.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

巳知橢圓的離心率是.
⑴若點(diǎn)P(2,1)在橢圓上，求橢圓的方程；
⑵若存在過點(diǎn)A(1,0)的直線，使點(diǎn)C(2,0)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在橢圓上，求橢圓的焦距的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知點(diǎn)為橢圓右焦點(diǎn)，圓與橢圓的一個(gè)公共點(diǎn)為，且直線與圓相切于點(diǎn).

（1）求的值及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)動點(diǎn)滿足，其中M、N是橢圓上的點(diǎn)，為原點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為，求證：為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為.斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，以為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為.
（1）求橢圓的方程；
（2）求△的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)是)和，并且經(jīng)過點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)E在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)恰好是橢圓C的右頂點(diǎn)F．
（1）求橢圓C和拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)F作兩條斜率都存在且互相垂直的直線l1、l2，l1交拋物線E于點(diǎn)A、B，l2交拋物線E于點(diǎn)G、H，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知對，直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．(0, 1)B．(0,5)C．[1,5)D．[1,5)∪(5，＋∞)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是（     ）
A．    B．    C．     D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓上任意一點(diǎn)P及點(diǎn)，則的最大值為      

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知點(diǎn)A（0，1）是橢圓上的一點(diǎn)，P點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn)，
則弦AP長度的最大值為（   ）
A．B．2C．D．4

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