Question

（2012•開(kāi)封一模）已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AE⊥PD；
（Ⅱ）若直線(xiàn)PB與平面PAD所成角的正弦值為

6

4

，求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)條件得到△ABC為正三角形，結(jié)合E為BC的中點(diǎn)以及BC∥AD得到AE⊥AD，再利用AD是PD在平面ABCD內(nèi)的射影，從而得到AE與PD垂直．
（Ⅱ）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合直線(xiàn)PB與平面PAD所成角的正弦值為

6

4

，求出AP的長(zhǎng)，進(jìn)而求出兩個(gè)半平面的法向量，代入向量的夾角計(jì)算公式即可求出結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形．
因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
所以PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD，且PA∩AD=A，
所以AE⊥平面PAD，
又PD?平面PAD．
所以 AE⊥PD．…4
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
設(shè)AB=2，AP=a，則A（0，0，0），B（

3

，-1，0），
C（

3

，1，0），D（0，2，0），P（0，0，a），E（

3

，0，0），F(xiàn)（

3

2

，

1

2

，

a

2

）．
所以

PB

=（

3

，-1，-a），且

AE

=（

3

，0，0）為平面PAD的法向量，
設(shè)直線(xiàn)PB與平面PAD所成的角為θ，
由sinθ=|cos＜

PB

，

AE

＞|=

| PB • AE |

| PB |•| AE |

=

3

4+a2 3

=

6

4

，解得a=2．…4
所以

AE

=（

3

，0，0），

AF

=（

3

2

，

1

2

，1）．
設(shè)平面AEF的一法向量為

m

=（x₁，y₁，z₁），則

m • AE =0 m • AF =0

，因此

3 x1=0 3 2 x1+ 1 2 y1+z1=0

，
取z₁=-1，則

m

=（0，2，-1）．
因?yàn)锽D⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，
所以BD⊥平面AFC，故

BD

為平面AFC的一法向量．
又

BD

=（-

3

，3，0），所以cos＜

m

，

BD

＞=

m • BD

| m |• BD

=

2×3

5 × 12

=

15

5

．
因?yàn)槎�面角E-AF-C為銳角，故所求二面角的余弦值為

15

5

．…4

點(diǎn)評(píng)：本題綜合了直線(xiàn)與平面平行的判定、直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)和棱錐的體積等幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．請(qǐng)同學(xué)們留意在解題過(guò)程中“空間問(wèn)題平面化的思路”，是立體幾何常用的數(shù)學(xué)思想．