Question

某地擬模仿圖甲建造一座大型體育館，其設計方案側(cè)面的外輪廓線如圖乙所示：曲線是以點為圓心的圓的一部分，其中（，單位：米）；曲線是拋物線的一部分；，且恰好等于圓的半徑. 假定擬建體育館的高米.

（1）若要求米，米，求與的值；

（2）若要求體育館側(cè)面的最大寬度不超過米，求的取值范圍；

（3）若，求的最大值.

（參考公式：若，則）

Answer 1

（1），（2），（3）25.

【解析】

試題分析：（1）曲線為圓與拋物線的結(jié)合體，由恰好等于圓的半徑得，，從而可得圓的方程，令，得，再根據(jù)得點進而解出.（2）為圓半徑與OD之和，圓的半徑為，關(guān)鍵求OD：因為，所以在中令，得，問題就轉(zhuǎn)化為對恒成立，利用變量分離法可得恒成立，因為最小值10，所以，解得. （3）當時，，由圓的方程可得，從而，這要利用導數(shù)求其最值.

試題解析：（1）因為，解得. 2分

此時圓，令，得，

所以，將點代入中，

解得. 4分

（2）因為圓的半徑為，所以，在中令，得，

則由題意知對恒成立， 8分

所以恒成立，而當，即時，取最小值10，

故，解得. 10分

（3）當時，，又圓的方程為，令，得，所以，

從而， 12分

又因為，令，得， 14分

當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，從而當 時，取最大值為25.

答：當米時，的最大值為25米. 16分

考點：函數(shù)解析式，不等式恒成立，利用導數(shù)求最值