Question

已知a，b，c分別是三角形ABC的角A、B、C所對(duì)邊，且a，b，c成等差數(shù)列，公差d≠0；
（1）求證：

1

a

，

1

b

，

1

c

不可能成等差數(shù)列．
（2）求證：0°＜B＜60°．

Answer 1

分析：（1）假設(shè)

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差數(shù)列，則有

1

b

-

1

a

=

1

c

-

1

b

，從而得到 a=c，這與已知d≠0相矛盾．
（2）利用余弦定理求出cosB的值，再利用基本不等式證明 cosB＞

1

2

，從而證得0°＜B＜60°．

解答：解：（1）證明：假設(shè)

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差數(shù)列，則有

1

b

-

1

a

=

1

c

-

1

b

，從而

a-b

ab

=

b-c

bc

，
因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，d≠0；所以a-b=b-c=-d，
故

-d

ab

=

-d

bc

，從而ab=bc   即a=c，這與已知d≠0相矛盾．
所以

1

a

，

1

b

，

1

c

不可能成等差數(shù)列．
（2）∵

cosB= a2+c2-b2 2ac = a2+c2-( a+c 2 )2 2ac = 4(a2+c2)-(a+c)2 8ac

 
=

3(a2+c2)-2ac 8ac ＞ 6ac-2ac 8ac = 1 2

．
又因?yàn)锽為三角形內(nèi)角，所以，0°＜B＜60°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用反證法證明數(shù)學(xué)命題，推出矛盾，是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．還考查利用余弦定理和基本不等式證明不等式，
屬于中檔題．