Question

已知定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）=，則（ ）
A．函數(shù)f（x）的值域為[1，4]
B．關于x的方程f（x）-=0（n∈N^*）有2n+4個不相等的實數(shù)根
C．當x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）時，函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的面積為2
D．存在實數(shù)x，使得不等式xf（x）＞6成立

Answer 1

【答案】分析：分類討論：①當1≤x≤時，f（x）=8x-8，；當時，f（x）=16-8x；②當2＜x≤3時，則，此時f（x）==-4=2x-4；
當3＜x≤4時，則，此時f（x）==8-；依此類推：當2^n-1≤x≤3•2^n-2時，f（x）==2^5-2n（x-2^n-1），
此時，0≤f（x）≤2^3-n；當3•2^n-2＜x≤2ⁿ時，f（x）=-2^5-2n（x-2ⁿ），此時，0≤f（x）≤2^3-n．據(jù)此即可判斷答案．
解答：解：①當1≤x≤時，f（x）=8x-8，此時，0≤f（x）≤4；當時，f（x）=16-8x，此時，0≤f（x）＜4；
②當2＜x≤3時，則，此時f（x）==-4=2x-4，此時，0≤f（x）≤2；
當3＜x≤4時，則，此時f（x）==8-，此時，0≤f（x）＜2；
…，
依此類推：當2^n-1≤x≤3•2^n-2時，f（x）==2^5-2n（x-2^n-1），
此時，0≤f（x）≤2^3-n；當3•2^n-2＜x≤2ⁿ時，f（x）=-2^5-2n（x-2ⁿ），此時，0≤f（x）≤2^3-n．
據(jù)此可得：函數(shù)f（x）的值域為[0，4]，故A不正確；當n=1時，，有且僅有7個不等實數(shù)根，不是2×1+4=6個不等實數(shù)根，故B不正確；當x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）時，函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的面積S==2，故C正確；xf（x）＞6?，由f（x）的圖象可得到：當x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）時，可得：，故D不正確．
綜上可知：只有C正確．
故選C．
點評：本題綜合考查了分類討論思想方法、直線方程、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的交點與方程的根、如何否定一個命題等基礎知識與基本技能，考查了數(shù)形結(jié)合的方法與能力、類比推理能力和計算能力．