精英家教網(wǎng)如圖,已知AB⊥平面BCE,CD∥ab,△BCE是正三角形,AB=BC=2CD.
(Ⅰ)在線段BE上是否存在一點(diǎn)F,使CF∥平面ADE?
(Ⅱ)求證:平面ADE⊥平面ABE;
(Ⅲ)求二面角A-DE-B的正切值.
分析:(I)取BE的中點(diǎn)F、AE的中點(diǎn)G,連接GD,GD,CF,由,△BCE是正三角形,AB=BC=2CD,結(jié)合三角形中位線性質(zhì),我們可得四邊形CFGD是平行四邊形,則CD∥GD,根據(jù)線面平行的判定定理,即可得到結(jié)論.
(II)由CF⊥BF,CF⊥AB,根據(jù)線面垂直判定定理可得CF⊥平面ABE,結(jié)合(I)中CF∥DG,可得DG⊥平面ABE,結(jié)合面面垂直的判定定理,可得平面ABE⊥平面ADE;
(III)過G作GM⊥DE,連接BM,我們可以得到∠BMG為二面角A-DE-B的平面角,解三角形BMG即可求出二面角A-DE-B的正切值.
解答:精英家教網(wǎng)解:(Ⅰ)當(dāng)F為BE的中點(diǎn)時(shí),CF∥平面ADE…(1分)
證明:取BE的中點(diǎn)F、AE的中點(diǎn)G,連接GD,GD,CF
∴GF=
1
2
AB,GF∥AB
又∵DC=
1
2
AB,CD∥AB
∴CD∥GF,CD=GF
∴CFGD是平行四邊形…(3分)
∴CF∥GD
∴CF∥平面ADE…(4分)
(Ⅱ)∵CF⊥BF,CF⊥AB
∴CF⊥平面ABE
∵CF∥DG
∴DG⊥平面ABE…(6分)
∵DG?平面ABE
∴平面ABE⊥平面ADE…(7分)
(Ⅲ)∵AB=BE
∴AE⊥BG
∴BG⊥平面ADE
過G作GM⊥DE,連接BM,則BM⊥DE
則∠BMG為二面角A-DE-B的平面角…(9分)
設(shè)AB=BC=2CD=2,則
BG=
2
,GE=
2

在Rt△DCE中,CD=1,CE=2
∴DE=
5

又DG=CF=
3

由DE•GM=DG•EG得GM=
30
5
…(11分)
∴tan∠BMG=
BG
GM
=
15
3

∴面角A-DE-B的正切值
15
3
…(12分)
點(diǎn)評:本題考查的知識點(diǎn)是平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定,二面角的平面角及求法,(I)、(II)的關(guān)鍵是熟練掌握直線與平面垂直及平行的判定定理、性質(zhì)定理,(III)的關(guān)鍵是根據(jù)三垂線定理求出二面角的平面角.
練習(xí)冊系列答案
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(2012•惠州模擬)如圖,已知AB⊥平面ACD,DE∥AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中點(diǎn).
(1)求證:AF∥平面BCE;
(2)求證:平面BCE⊥平面CDE;
(3)求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大。

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如圖,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD為等邊三角形,AD=DE=2AB,F(xiàn)為CD的中點(diǎn)
(Ⅰ) 求證:平面BCE⊥平面CDE;
(Ⅱ) 求二面角B-EF-D的余弦值.

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(2012•棗莊一模)如圖,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD為等邊三角形,AD=DE=2AB,F(xiàn)為CD的中點(diǎn).
(1)求證:AF∥平面BCE;
(2)求直線BF和平面BCE所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,三角形ACD為等邊三角形,AD=DE=2AB,F(xiàn)為CD的中點(diǎn)
(1)求證:AF∥平面BCE;
(2)求證:平面BCE⊥平面CDE;
(3)求二面角F-BE-C的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,且AC=AD=DE=2AB=4,F(xiàn)為CD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AF∥平面BCE;
(Ⅱ) 若∠CAD=90°,求三棱錐F-BCE的體積.

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