Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，點D是AB的中點．
（1）求證：AC⊥BC₁；
（2）求二面角D-CB₁-B的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）利用勾股定理得到AC²+BC²=AB²，得到AC⊥BC，利用線面垂直的判定定理得到AC⊥平面BCC₁進(jìn)一步證得AC⊥BC₁．
（2）取BC中點E，過D作DF⊥B₁C于F，連接EF．則D是AB中點，AC⊥平面BB₁C₁C，得到DE⊥平面BB₁C₁C，所以∠EFD是二面角D-B₁C-B的平面角，通過解三角形求出二面角D-CB₁-B的大�。�
解答：解：（1）證明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5．
因為AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC．…（2分）
又AC⊥CC₁，且BC∩C₁C=，
∴AC⊥平面BCC₁．…（4分）
又BC₁?平面BCC₁，
∴AC⊥BC₁．．…（5分）
（2）取BC中點E，過D作DF⊥B₁C于F，連接EF．
則D是AB中點，
∴DE∥AC．
又AC⊥平面BB₁C₁C，
∴DE⊥平面BB₁C₁C，
又因為DF⊥B₁C，
∴EF⊥B₁C．
∴∠EFD是二面角D-B₁C-B的平面角．…（8分）
在△DEF中，求得，．
∴．
∴二面角D-B₁C-B的大小為．…（12分）
點評：本題考查空間中直線與平面之間的垂直關(guān)系，考查了求二面角的方法：找-證-求三步，也可通過建立空間直角坐標(biāo)系來求．