Question

如圖，已知底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，△ABC是邊長為2的正三角形，AP=BP=

2

2

PC=

2

．
（1）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）求二面角A-PC-D的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)PE、CE，得PE⊥AB，PE⊥CE，從而PE⊥平面ABCD，由此能證明平面PAB⊥平面ABCD．
（2）在Rt△PEC中，過點(diǎn)E作EF⊥PC于點(diǎn)F，連結(jié)AF，過A作平面PCD的垂線，垂足為H，連結(jié)FH，由已知條件推導(dǎo)出∠AFH是二面角A-PC-D的平面角，由此能求出二面角A-PC-D的余弦值．

解答： （1）證明：如圖，取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)PE、CE，
則PE是等腰△PAB的底邊上的中線，
∴PE⊥AB，∴PE=1，CE=

3

，PC=2，
∴PE²+CE²=PC²，∴PE⊥CE，
又AB?平面ABCD，CE?平面ABCD，且AB∩CE=E，
∴PE⊥平面ABCD，
∵PE?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD．
（2）解：如圖，在Rt△PEC中，
過點(diǎn)E作EF⊥PC于點(diǎn)F，連結(jié)AF，
過A作平面PCD的垂線，垂足為H，連結(jié)FH，
∵AE⊥EC，AE⊥PE，∴AE⊥平面PEC，∴AE⊥PC，
又EF⊥PC，∴PC⊥平面AEF，∴PC⊥AF，
又PC⊥AH，∴AC⊥平面AFH，∴PC⊥FH，
∴∠AFH是二面角A-PC-D的平面角．
由AB⊥平面PEC，知EF⊥AB，
又AB∥CD，∴EF⊥CD，
又EF⊥PC，∴EF⊥平面PCD，
∵AH⊥平面PCD，∴AH∥EF，
∴A、E兩點(diǎn)到平面PCD的距離相等，∴AH=EF，
∴四邊形AEFH是矩形，∠AFH=∠EAP，
在Rt△AEF中，AE=1，EF=

3

2

，AF=

7

2

，
∴cos∠EAF=

AE

AF

=

2 7

7

，
∴二面角A-PC-D的余弦值是

2 7

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．