已知拋物線的焦點為橢圓的右焦點,且橢圓的長軸長為4，M、N是橢圓上的的動點.
（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)動點滿足：，直線與的斜率之積為，證明：存在定點使
得為定值，并求出的坐標(biāo)；
（3）若在第一象限，且點關(guān)于原點對稱，垂直于軸于點，連接 并延長交橢圓于點，記直線的斜率分別為，證明：.
（1）；（2）存在使得;（3）證明過程詳見試題解析.

試題分析：（1）由雙曲線的焦點與橢圓的焦點重合求出橢圓中的，再由，求出所求橢圓方程為；（2）先設(shè)，由,結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以得到使得為定值；（3）要證明就是要考慮,詳見解析.
試題解析：（1）由題設(shè)可知：因為拋物線的焦點為，
所以橢圓中的又由橢圓的長軸為4得
故   
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： 
（2）設(shè)，
由可得：
   
由直線OM與ON的斜率之積為可得：
 ，即  
由①②可得： 
M、N是橢圓上的點，故
故，即 
由橢圓定義可知存在兩個定點，
使得動點P到兩定點距離和為定值;
（3）設(shè)，由題設(shè)可知 ，
由題設(shè)可知斜率存在且滿足.
  
將③代入④可得：⑤
點在橢圓，
故  
  
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，且截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長為，傾斜角為的直線過點.
（1）求該橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的另一個焦點為，問拋物線上是否存在一點，使得與關(guān)于直線對稱，若存在，求出點的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知分別是橢圓的左，右頂點，點在橢圓 上，且直線與直線的斜率之積為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點為橢圓上除長軸端點外的任一點，直線，與橢圓的右準(zhǔn)線分別交于點，．
①在軸上是否存在一個定點,使得?若存在，求點的坐標(biāo)；若不存在,說明理由；
②已知常數(shù)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

橢圓的焦點分別為和，點在橢圓上，如果線段的中點在軸上，那么               。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝sin＋cos，g(x)＝2sin2.
(1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值；
(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知兩定點A(1，1)，B(－1，－1)，動點P(x，y)滿足·＝，則點P的軌跡是(　　)
A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

若C(－，0)，D(，0)，M是橢圓＋y2＝1上的動點，則＋的最小值為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

橢圓＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別是F1、F2，過F1作傾斜角為45°的直線與橢圓的一個交點為M，若MF2垂直于x軸，則橢圓的離心率為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知點分別是橢圓為：的左、右焦點，過點作軸的垂線交橢圓的上半部分于點，過點作直線的垂線交直線于點，若直線與雙曲線的一條漸近線平行，則橢圓的離心率為(    )
A．B．C．D．

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