已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且滿足條件：
①f（x•y）=f（x）+f（y）    ②f（2）=1    ③當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0
（1）求f（1）的值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）求滿足f（x）+f（2x）≤2的x的取值范圍．
（1）在①中令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1）故 f（1）=0   …（2分）
（2）在①中令y=
1
x
，得f（1）=f（x）+f（
1
x
）=0
即f（
1
x
）=-f（x），
函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)遞增，理由如下：
任取x1，x2，設(shè)x2＞x1＞0，
∴
x2
x1
＞1
∵當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0
∴f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（
1
x1
）=f（
x2
x1
）＞0   …（6分）
f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，…（8分）
（3）由f（2）=1，得2f（2）=2=f（2）+f（2）=f（4）…（9分）
∴f（x）+f（2x）≤2可化為
x＞0
2x＞0
x•2x≤4

解得0＜x≤
2
．…（12分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)為
1
2
的點(diǎn)P滿足2
OP
=
OM
+
ON
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求證：y1+y2為定值；
（Ⅱ）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，且n≥2，求Sn；
（Ⅲ）已知an=
1
6
，                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Tn＜m（Sn+1+1）對(duì)一切n∈N*都成立，試求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列說(shuō)法正確的有（　�。﹤�(gè)．
①已知函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，若f（x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增，則對(duì)任意的?x∈（a，b），有f′（x）＞0．
②函數(shù)f（x）圖象在點(diǎn)P處的切線存在，則函數(shù)f（x）在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)存在；反之若函數(shù)f（x）在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)f（x）圖象在點(diǎn)P處的切線存在．
③因?yàn)?＞2，所以3+i＞2+i，其中i為虛數(shù)單位．
④定積分定義可以分為：分割、近似代替、求和、取極限四步，對(duì)求和In=
n
i=1
f(ξi)△x中ξi的選取是任意的，且In僅于n有關(guān)．
⑤已知2i-3是方程2x2+px+q=0的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)p，q的值分別是12，26．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（2x-
π
6
），g（x）=sin（2x+
π
3
），直線y=m與兩個(gè)相鄰函數(shù)的交點(diǎn)為A，B，若m變化時(shí)，AB的長(zhǎng)度是一個(gè)定值，則AB的值是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=x3-x，其圖象記為曲線C．
（i）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（ii）證明：若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)x1，曲線C與其在點(diǎn)P1（x1，f（x1））處的切線交于另一點(diǎn)P2（x2，f（x2）），曲線C與其在點(diǎn)P2（x2，f（x2））處的切線交于另一點(diǎn)P3（x3，f（x3）），線段P1P2，P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S1，S2．則
S1S2
為定值；
（Ⅱ）對(duì)于一般的三次函數(shù)g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），請(qǐng)給出類似于（Ⅰ）（ii）的正確命題，并予以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3-ax+b存在極值點(diǎn)．
（1）求a的取值范圍；
（2）過(guò)曲線y=f（x）外的點(diǎn)P（1，0）作曲線y=f（x）的切線，所作切線恰有兩條，切點(diǎn)分別為A、B．
（ⅰ）證明：a=b；
（ⅱ）請(qǐng)問(wèn)△PAB的面積是否為定值？若是，求此定值；若不是求出面積的取值范圍．

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