Question

已知函數f（x）=

a+x2+2x，x＜0 f(x-1)，x≥0

，且函數y=f（x）+x恰有3個不同的零點，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數零點的判定定理

專題：函數的性質及應用

分析：根據題意，原函數的零點可轉化為y=f（x）與y=-x的圖象交點的個數問題，然后據題意畫出它們的圖象，判斷何時有三個交點即可．

解答： 解：因為當x≥0的時候，f（x）=f（x-1），
當x∈[0，1）時，x-1∈[-1，0），此時f（x）=f（x-1）=a+（x-1）²+2（x-1）
當x∈[1，2）時，x-2∈[-1，0），此時f（x）=f（x-2）=f（x-2）=a+（x-2）²+2（x-2）
依此類推，f（x）在x＜0時為二次函數y=a+x²+2x=（x+1）²+a-1，
在x≥0上為周期為1的函數，重復部分為y=a+x²+2x=（x+1）²+a-1在區(qū)間[-1，0）上的部分．
二次函數y=a+x²+2x=（x+1）²+a-1頂點為（-1，a-1），
y=f（x）+x恰有3個不同的零點，即y=f（x）與y=-x的圖象有三個不同的交點．
做出它們的圖象如下：

可知：只要是函數y=f（x）圖象上的點C在直線y=-x上或在該直線的下方，就能保證直線和函數y=f（x）的圖象產生三個不同的交點．
因此只需a-1≤0，即a≤1即可．
故答案為（-∞，1]．

點評：本題考查了利用函數的圖象判斷函數零點的個數問題的解題思路，要注意準確畫圖．