Question

（本小題共13分）

       若數(shù)列滿足，數(shù)列為數(shù)列，記=．

       （Ⅰ）寫出一個(gè)滿足，且〉0的數(shù)列；

       （Ⅱ）若，n=2000，證明：E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2011；

       （Ⅲ）對(duì)任意給定的整數(shù)n（n≥2），是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列，使得=0？如果存在，寫出一個(gè)滿足條件的E數(shù)列；如果不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

（共13分）

解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具滿足條件的E數(shù)列A₅。

（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個(gè)滿足條件的E的數(shù)列A₅）

（Ⅱ）必要性：因?yàn)镋數(shù)列A₅是遞增數(shù)列，

所以.

所以A₅是首項(xiàng)為12，公差為1的等差數(shù)列.

所以a₂₀₀₀=12+（2000—1）×1=2011.

充分性，由于a₂₀₀₀—a₁₀₀₀≤1，

a₂₀₀₀—a₁₀₀₀≤1

……

a₂—a₁≤1

       所以a₂₀₀₀—a≤19999，即a₂₀₀₀≤a₁+1999.

       又因?yàn)閍₁=12，a₂₀₀₀=2011,

       所以a₂₀₀₀=a₁+1999.

       故是遞增數(shù)列.

       綜上，結(jié)論得證。

       （Ⅲ）令

       因?yàn)?sub>

       ……

      

所以

因?yàn)?sub>

所以為偶數(shù),

所以要使為偶數(shù),

即4整除.

當(dāng)

時(shí)，有

當(dāng)的項(xiàng)滿足，

當(dāng)不能被4整除，此時(shí)不存在E數(shù)列A_n，

使得