Question

【題目】一房產(chǎn)商競(jìng)標(biāo)得一塊扇形OPQ地皮，其圓心角∠POQ= ，半徑為R=200m，房產(chǎn)商欲在此地皮上修建一棟平面圖為矩形的商住樓，為使得地皮的使用率最大，準(zhǔn)備了兩種設(shè)計(jì)方案如圖，方案一：矩形ABCD的一邊AB在半徑OP上，C在圓弧上，D在半徑OQ；方案二：矩形EFGH的頂點(diǎn)在圓弧上，頂點(diǎn)G，H分別在兩條半徑上．請(qǐng)你通過計(jì)算，為房產(chǎn)商提供決策建議．

Answer 1

【答案】解：按方案一：如圖，連OC，設(shè) ，

在Rt△OBC中，BC=Rsinx，OB=Rcosx，則DA=Rsinx
在Rt△OAD中， ，得 ，
則 ，設(shè)矩形ABCD的面積為y，則
y=ABBC= = sin（2x+ ）﹣ ，
由 得 ．
所以當(dāng) ，即 時(shí) ．
按方案二：如圖作∠POQ的平分線分別交EF，GH于點(diǎn)M，N，連OE．

設(shè) ，在Rt△MOE中，ME=Rsinα，OM=Rcosα
在Rt△ONH中， ，得 ，
則 ，設(shè)矩形EFGH的面積為S，
則S=2MEMN=2R2sinα（cosα﹣ sinα）=R2（sin2α+ cos2α﹣ ）=
由 ，則 ，所以當(dāng) ，即 時(shí) ∵ ，即ymax＞Smax
答：給房產(chǎn)商提出決策建議：選用方案一更好．
【解析】分類討論，按照方案一，二的要求進(jìn)行討論．
方案一：連OC，設(shè) ，設(shè)矩形ABCD的面積為y，則y=ABBC，通過代入化簡，由三角函數(shù)的最值確定的條件，可以得出答案；方案二：作∠POQ的平分線分別交EF，GH于點(diǎn)M，N，連OE．設(shè) ，設(shè)矩形EFGH的面積為S，求出S的式子，由三角函數(shù)的性質(zhì)求出最值．
最后，比較二者最大值的大小，選出最大值即可得出答案．