【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(a﹣2,0),N(a+2,0),P(0,﹣2),其中a∈R.
(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡E的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)P作直線l交軌跡E于不同的兩點(diǎn)A、B,直線OA與直線OB分別交直線y=2于兩點(diǎn)C、D,記△ACD與△BCD的面積分別為S1 , S2 . 求S1+S2的最小值.

【答案】
(1)解:設(shè)動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)為(x,y),則 ,可知

所以動(dòng)圓圓心的軌跡E的方程


(2)解:直線l的斜率一定存在,設(shè)l的方程為y=kx﹣2,

與拋物線方程聯(lián)立,得x2+4kx﹣8=0,

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=﹣4k,x1x2=﹣8,

設(shè)直線OA方程為y= x,

y=2,得C的橫坐標(biāo)﹣

同理得D的橫坐標(biāo)﹣

所以|CD|=| |=4 ,

所以S1= =2(4﹣kx1 ,

同理S2=2(4﹣kx2 ,

則S1+S2=8

令t= ,(t≥ ),則S1+S2=8t3

令f(t)=8t3,則f′(t)=24t2,t 時(shí),f′(t)>0

所以f(t)=8t3是[ )的增函數(shù),所以f(t) ,

即S1+S2的最小值為16


【解析】(1)利用直接法求動(dòng)圓圓心的軌跡E的方程;(2)直線l的斜率一定存在,設(shè)l的方程為y=kx﹣2,求出S1 , S2 . 利用導(dǎo)數(shù)的方法求S1+S2的最小值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知點(diǎn)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),點(diǎn)P是準(zhǔn)線l上的動(dòng)點(diǎn),直線PF交拋物線于A,B兩點(diǎn),若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是m(m≠0),點(diǎn)D為準(zhǔn)線lx軸的交點(diǎn).

(1)m=2,△DAB的面積;

(2)設(shè),求證:λ+μ為定值.

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【題目】拋物線y2=2px(p>0)與直線y=x+1相切,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)是拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),F為拋物線的焦點(diǎn),|AF|+|BF|=8.

(1)p的值.

(2)線段AB的垂直平分線lx軸的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)?若是,求出交點(diǎn)坐標(biāo);若不是,說(shuō)明理由.

(3)求直線l的斜率的取值范圍.

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【題目】已知橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,短軸兩個(gè)端點(diǎn)為A,B,且四邊形F1AF2B是邊長(zhǎng)為2的正方形.

(1)求橢圓的方程;

(2)若C,D分別是橢圓的左、右端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M滿足MDCD,連接CM,交橢圓于點(diǎn)P.證明:為定值.

(3)在(2)的條件下,試問(wèn)x軸上是否存在異于點(diǎn)C的定點(diǎn)Q,使得以MP為直徑的圓恒過(guò)直線DP,MQ的交點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】如圖,已知, , 是正三角形, .

(1)求證:平面平面

(2)求二面角的正切值。

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【題目】閱讀右面的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,若輸入N的值為24,則輸出N的值為(  )

A.0
B.1
C.2
D.3

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【題目】已知函數(shù)f(x)= ,設(shè)a∈R,若關(guān)于x的不等式f(x)≥| +a|在R上恒成立,則a的取值范圍是( 。
A.[﹣ ,2]
B.[﹣ , ]
C.[﹣2 ,2]
D.[﹣2 , ]

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(1)求證:AB1平面BC1D;

(2)求異面直線AB1與BC1所成的角.

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【題目】中,若,則這三角形一定是( )

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形

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