新晨投資公司擬投資開發(fā)某項新產品,市場評估能獲得10~1000萬元的投資收益.現(xiàn)公司準備制定一個對科研課題組的獎勵方案:獎金y(單位:萬元)隨投資收益x(單位:萬元)的增加而增加,且獎金不低于1萬元,同時不超過投資收益的20%.
(Ⅰ)設獎勵方案的函數(shù)模型為f(x),試用數(shù)學語言表述公司對獎勵方案的函數(shù)模型f(x)的基本要求.
(Ⅱ)下面是公司預設的兩個獎勵方案的函數(shù)模型:
     ①f(x)=
x150
+2
;     ②f(x)=4lgx-2.
     試分別分析這兩個函數(shù)模型是否符合公司要求.
分析:(Ⅰ)根據題意可知獎勵方案描述的是函數(shù)的單調性和最值,從而運用數(shù)學語言描述出即可;
(Ⅱ)分別對兩個函數(shù)模型研究它們的單調性和恒成立問題,判斷是否符合(1)中的基本要求即可.
解答:解:(Ⅰ)由題意知,公司對獎勵方案的函數(shù)模型f(x)的基本要求是:
當x∈[10,1000]時,①f(x)是增函數(shù);②f(x)≥1恒成立;③f(x)≤
x
5
恒成立,
(Ⅱ)(i)對于函數(shù)模型f(x)=
x
150
+2
,
當x∈[10,1000]時,f(x)是單調遞增函數(shù),則f(x)≥1顯然恒成立,
若函數(shù)f(x)=
x
150
+2≤
x
5
在[10,1000]上恒成立,即29x≥300恒成立,
又∵(29x)min=290,
f(x)≤
x
5
不恒成立,
綜上所述,函數(shù)模型f(x)=
x
150
+2
滿足基本要求①②,但是不滿足③,
故函數(shù)模型f(x)=
x
150
+2
不符合公司要求;
(ii)對于函數(shù)模型f(x)=4lgx-2,
當x∈[10,1000]時,f(x)是單調遞增函數(shù),則f(x)min=f(10)=4lg10-2=2>1,
∴f(x)≥1恒成立,
g(x)=4lgx-2-
x
5
,則g′(x)=
4lge
x
-
1
5
,
∵當x≥10時,g′(x)=
4lge
x
-
1
5
2lge-1
5
=
lge2-1
5
<0

∴g(x)在[10,1000]上是減函數(shù),
∴g(x)≤g(10)=4lg10-2-2=0,
4lgx-2-
x
5
≤0
,
4lgx-2≤
x
5
,
f(x)≤
x
5
恒成立,
綜上所述,函數(shù)模型f(x)=4lgx-2滿足基本條件①②③,
故函數(shù)模型f(x)=4lgx-2符合公司要求.
點評:本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應用.解決實際問題通常有四個步驟:(1)閱讀理解,認真審題;(2)引進數(shù)學符號,建立數(shù)學模型;(3)利用數(shù)學的方法,得到數(shù)學結果;(4)轉譯成具體問題作出解答,其中關鍵是建立數(shù)學模型.本題的解題關鍵是理解題意,將題意轉化為數(shù)學問題進行求解.屬于中檔題.
練習冊系列答案
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某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產品,估計能獲得10萬元~1000萬元的投資收益.現(xiàn)準備制定一個對科研課題組的獎勵方案:獎金y(單位:萬元)隨投資收益x(單位:萬元)的增加而增加,且獎金不超過9萬元,同時獎金不超過投資收益的20%.
(Ⅰ)若建立函數(shù)模型制定獎勵方案,試用數(shù)學語言表述公司對獎勵函數(shù)模型的基本要求;
(Ⅱ)現(xiàn)有兩個獎勵函數(shù)模型:(1)y=
x150
+2
;(2)y=4lgx-3.試分析這兩個函數(shù)模型是否符合公司要求?

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•湖南模擬)某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產品,估計能獲得10萬元到1000萬元的投資收益.現(xiàn)準備制定一個對科研課題組的獎勵方案:獎金y(單位:萬元)隨投資收益x(單位:萬元)的增加而增加,且獎金不超過9萬元,同時獎金不超過投資收益的20%.
(Ⅰ)請分析函數(shù)y=
x
150
+2是否符合公司要求的獎勵函數(shù)模型,并說明原因;
(Ⅱ)若該公司采用函數(shù)模型y=
10x-3a
x+2
作為獎勵函數(shù)模型,試確定最小的正整數(shù)a的值.

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(1)設獎勵方案的函數(shù)模型為,試用數(shù)學語言表述公司對獎勵方案的函數(shù)模型的基本要求.

(2)下面是公司預設的兩個獎勵方案的函數(shù)模型:

;     ②

試分別分析這兩個函數(shù)模型是否符合公司要求.

 

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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年山東省文登市高三上學期期中統(tǒng)考文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

新晨投資公司擬投資開發(fā)某項新產品,市場評估能獲得萬元的投資收益.現(xiàn)公司準備制定一個對科研課題組的獎勵方案:獎金(單位:萬元)隨投資收益(單位:萬元)的增加而增加,且獎金不低于萬元,同時不超過投資收益的.

(1)設獎勵方案的函數(shù)模型為,試用數(shù)學語言表述公司對獎勵方案的函數(shù)模型的基本要求.

(2)下面是公司預設的兩個獎勵方案的函數(shù)模型:

;     ②

試分別分析這兩個函數(shù)模型是否符合公司要求.

 

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