Question

對于函數(shù)f（x）=ax-（a+1）ln（x+1） （a＞0）
（Ⅰ）試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a=1，數(shù)列{a_n}滿足a₁=f′（0），n≥2時，an=，求證：（；
（Ⅲ）設(shè)b_n=，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，求證：T₂₀₁₁-1＜ln2011＜T₂₀₁₀．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)負數(shù)沒有對數(shù)求出f（x）的定義域，然后求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，在定義域內(nèi)根據(jù)x的值，判斷導(dǎo)函數(shù)的正負即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）把a=1代入f（x）及導(dǎo)函數(shù)中，確定出f（x）的導(dǎo)函數(shù)及f′（0）的值，進而得到a_n的通項，把求得的a_n的通項代入所證的不等式中化簡，即要證＜ln＜，令g（x）=x-ln（1+x），求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，找出g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），又根據(jù)g（x）在x=0處連續(xù)，所以得到g（）大于g（0），化簡后得到一個不等式，記作①，然后令φ（x）=ln（x+1）-，求出φ（x）的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0，找出φ（x）的增區(qū)間為[0，+∞），也得到φ（）大于φ（0），代入化簡后得到令一個不等式，記作②，聯(lián)立①②，得證；
（Ⅲ）把（Ⅱ）中求出的a_n的通項代入b_n=，得到b_n的通項，羅列出前n項的和T_n的各項，再根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)論，分別令n=1，2，…，2010，代入不等式中，將各式相加，利用對數(shù)的運算法則及已知化簡后，得證．
解答：解：（Ⅰ）由已知的函數(shù)定義域為（-1，+∞）且f′（x）=a-=，
令f′（x）=0，解得x=（a＞0），
（i）當(dāng)x∈（-1，）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（-1，）內(nèi)單調(diào)遞增；
（ii）當(dāng)x∈（，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-1，），增區(qū)間是（，+∞）；
（Ⅱ）由已知a=1時，f′（x）=1-，
∴a₁=f′（0）=-1，n≥2時，a_n==-n，
∴a_n=-n（n∈N⁺），
于是，所證不等式即為：
＜＜?＜e＜?nln（1+）＜1＜（n+1）ln（1+）
即＜ln＜，
為此，令g（x）=x-ln（1+x）⇒g′（x）=1-=，
∴當(dāng)x∈（0，+∞），g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，又g（x）在x=0處連續(xù)，
∴n∈N⁺，g（）＞g（0）=0⇒-ln（1+）＞0，①
設(shè)φ（x）=ln（x+1）-，x∈[0，+∞），
得：φ′（x）=-=，
當(dāng)x＞0時，φ′（x）＞0，所以φ（x）在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
所以φ（x）在[0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．
當(dāng)n∈N⁺時，φ（）＞φ（0）=0，
即ln（1+）-＞0⇒＜ln（1+n）②，
由①②得：＜ln＜，即；
（Ⅲ）由b_n=-=，則T_n=1+++…+，
由（Ⅱ）可知＜ln＜，
令n=1，2，3，…，2010，并將各式相加得：
++…+＜ln+ln+…+ln＜1+++…+，
即T₂₀₁₁-1＜ln2011＜T₂₀₁₀．
點評：此題考查了由導(dǎo)函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了數(shù)列與函數(shù)及不等式的綜合，是一道中檔題．此題的難點為第二問中不等式的證明．