Question

已知二次函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過坐標原點，其導函數(shù)f ′(x)＝2x＋2，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點(n，S_n)(n∈N^*)均在函數(shù)y＝f(x)的圖象上．

(1)求數(shù)列{a_n}的通項公式；

(2)設b_n＝2ⁿ·a_n，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，求T_n.

Answer 1

 (1)設f(x)＝ax²＋bx，f ′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，

∴a＝1，b＝2，f(x)＝x²＋2x，

∴S_n＝n²＋2n，

∴當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝(n²＋2n)－[(n－1)²＋2(n－1)]＝2n＋1，

又a₁＝S₁＝3，適合上式，∴a_n＝2n＋1.

(2)b_n＝(2n＋1)·2ⁿ，

∴T_n＝3·2¹＋5·2²＋7·2³＋…＋(2n＋1)·2ⁿ，

∴2T_n＝3·2²＋5·2³＋7·2⁴＋…＋(2n＋1)·2^n＋1，

相減得－T_n＝3·2¹＋2·(2²＋2³＋…＋2ⁿ)－(2n＋1)·2^n＋1

＝6＋2·－(2n＋1)·2^n＋1

＝(1－2n)·2^n＋1－2，

∴T_n＝(2n－1)·2^n＋1＋2.