Question

已知f（x）=log_a

1+x

1-x

（1）求f（x）的定義域
（2）證明f（x）為奇函數
（3）求使f（x）＜0的x的取值范圍．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數的定義域及其求法,函數奇偶性的性質

專題：計算題,證明題,分類討論,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）求出對數的真數大于0，即可得到f（x）的定義域；
（2）判斷定義域關于原點對稱，計算f（-x），判斷f（-x）與f（x）的關系，即可得到；
（3）討論a＞1，0＜a＜1，列出不等式組，解出即可得到．

解答： （1）解：由

1+x

1-x

＞0得函數的定義域為（-1，1）；
（2）證明：由于定義域關于原點對稱，
f（-x）=log_a

1-x

1+x

=log_a（

1+x

1-x

）^-1=-log_a

1-x

1+x

=-f（x），
所以f（x）為奇函數．
（3）解：由題意：當0＜a＜1時，有

-1＜x＜1 1+x 1-x ＞1

 解得0＜x＜1； 
當a＞1時，有

-1＜x＜1 1+x 1-x ＜1

  解得-1＜x＜0．
綜上，當0＜a＜1時，0＜x＜1；  當a＞1時，-1＜x＜0．

點評：本題考查函數的奇偶性的判斷，同時考查對數不等式的解法，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．