Question

設f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且當-1≤x≤0時，f（x）=2x³+5ax²+4a²x+b．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）當1＜a≤3時，求函數(shù)f（x）在（0，1]上的最大值g（a）；
（Ⅲ）如果對滿足1＜a≤3的一切實數(shù)a，函數(shù)f（x）在（0，1]上恒有f（x）≤0，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）當0＜x≤1時，-1≤-x＜0，則
f（x）=-f（-x）=2x³-5ax²+4a²x-b．
當x=0時，f（0）=-f（-0）∴f（0）=0；
∴f（x）=

2x3+5ax2+4a2x+b，(-1≤x＜0) 2x3-5ax2+4a2x-b，(0＜x≤1) f(0)=0

；
（Ⅱ）當0＜x≤1時，f′（x）=6x²-10ax+4a²=2（3x-2a）（x-a）=6（x-

2a

3

）（x-a）．
①當

2

3

＜

2a

3

＜1，即1＜a＜

3

2

時，
當x∈（0，

2a

3

）時，f′（x）＞0，當x∈（

2a

3

，1]時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，

2a

3

）單調(diào)遞增，在（

2a

3

，1]上單調(diào)遞減，
∴g（a）=f（

2a

3

）=

28

27

a³-b．
②當1≤

2a

3

≤2，即

3

2

≤a≤3時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1]單調(diào)遞增．
∴g（a）=f（1）=4a²-5a+2-b，
∴g（a）=

28 27 a3-b，(1＜a＜ 3 2 ) 4a2-5a+2-b，( 3 2 ≤a≤3)

（Ⅲ）要使函數(shù)f（x）在（0，1]上恒有f（x）≤0，必須f（x）在（0，1]上的最大值g（a）≤0．
也即是對滿足1＜a≤3的實數(shù)a，g（a）的最大值要小于或等于0．
①當1＜a≤

3

2

時，g′（a）=

28

9

a²＞0，此時g（a）在（1，

3

2

）上是增函數(shù)，
則g（a）＜

28

27

(

3

2

)3-b=

7

2

-b．∴

7

2

-b≤0，解得b≥

7

2

；
②當

3

2

≤a≤3時，g′（a）=8a-5＞0，此時，g（a）在[

3

2

，3]上是增函數(shù)，g（a）的最大值是g（3）=23-b．
∴23-b≤0，解得b≥23．
由①、②得實數(shù)b的取值范圍是b≥23．