已知橢圓＝1(0＜b＜2)的左、右焦點(diǎn)分別為F1和F2，以F1、F2為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)M(0，b)．

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且·＝0．求證：直線l在y軸上的截距為定值．

答案：
解析：

　　(1)由題設(shè)知，又，所以，故橢圓方程為；4分

　　(2)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/5641/0019/c9f1b998d05a4389ecf90d81b40d8829/C/Image106.gif" width=53 height=21>，所以直線與x軸不垂直．設(shè)直線的方程為，．由得，

　　所以，

　　又·＝0，所以，

　　即，

　　，

　　整理得，

　　即，

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/5641/0019/c9f1b998d05a4389ecf90d81b40d8829/C/Image118.gif" width=41 height=18>，所以，

　　展開整理得，即．直線l在y軸上的截距為定值．14分


練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：湖北省黃岡市2009屆高三3月質(zhì)量檢測　數(shù)學(xué)試題(理科) 題型：013

已知橢圓＝1(a＞b＞0)的短軸端點(diǎn)分別為B1、B2，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，長軸右端點(diǎn)為A，若，則橢圓的離心率為

[　　]

A．

B．

C．

D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年河北省高三3月月考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓＝1(a＞b＞0)的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F1、F2為頂點(diǎn)的三角形的周長為4(＋1)，一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.

(1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明：k1·k2＝1；

(3)是否存在常數(shù)λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓＝1(a＞b＞0)過點(diǎn)(1，)，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2.點(diǎn)P為直線l：x＋y＝2上且不在x軸上的任意一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2.

(ⅰ)證明：＝2.

(ⅱ)問直線l上是否存在點(diǎn)P，使得直線OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD滿足kOA＋kOB＋kOC＋kOD＝0？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓＝1(a＞b＞0)的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F1、F2為頂點(diǎn)的三角形的周長為4(＋1)，一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.

(1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明：k1·k2＝1；

(3)是否存在常數(shù)λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．

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