Question

（2012•菏澤一模）設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx-

π

6

）-2cos2

ω

2

+1（ω＞0）．直線y=

3

與函數(shù)y=f（x）圖象相鄰兩交點(diǎn)的距離為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，若點(diǎn)(

B

2

，0)是函數(shù)y=f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，且b=3，求△ABC外接圓的面積．

Answer 1

分析：（I）將函數(shù)表達(dá)式展開(kāi)，再用輔助角公式合并，可得f（x）=

3

sin(ωx-

π

3

)，結(jié)合題意知它的周期是π，利用三角函數(shù)的周期公式，可得ω=2．
（II）因?yàn)辄c(diǎn)(

B

2

，0)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，所以f（

B

2

）=0，結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍，可得B=

π

3

，最后用正弦定理可以算出外接圓半徑R，從而得到△ABC外接圓的面積．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

2

sinωx-

1

2

cosωx-cosωx=

3

2

sinωx-

3

2

cosωx
=

3

sin(ωx-

π

3

)…（4分）
∴函數(shù)的最大值為

3

∵直線y=

3

與函數(shù)y=f（x）圖象相鄰兩交點(diǎn)的距離為π
∴T=

2π

ω

=π，得ω=2…（6分）
（Ⅱ）由（I），得f(x)=

3

sin(2x-

π

3

)
∵點(diǎn)(

B

2

，0)是函數(shù)y=f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心
∴f（

B

2

）=

3

sin(B-

π

3

)=0，可得B-

π

3

=kπ，k∈Z，即B=

π

3

+kπ，k∈Z
因?yàn)?＜B＜π，所以取k=0，得B=

π

3

…（9分）
根據(jù)正弦定理，得△ABC外接圓直徑2R=

b

sinB

=

3

sin π 3

=2

3

，所以R=

3

，
∴△ABC外接圓的面積S=πR²=3π  …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了兩角差的正弦公式、三角函數(shù)的降次公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和正弦定理等知識(shí)，屬于中檔題，是一道不錯(cuò)的綜合題．