Question

（2012•菏澤一模）如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=3，D為C₁B的中點，P為AB邊上的動點．
（Ⅰ）當點P為AB的中點時，證明DP∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若AP=3PB，求三棱錐B-CDP的體積．

Answer 1

分析：（I）連接DP、AC₁，在△ABC₁中根據(jù)中位線定理，得DP∥AC₁，結合線面平行的判定定理，得DP∥平面ACC₁A₁；
（II）過點D作DE⊥BC于E，結合DE∥CC₁且DE=

1

2

CC₁，得三棱錐B-CDP的高DE=

3

2

，結合△BCP的面積和錐體體積公式，可算出三棱錐B-CDP的體積．

解答：解：（I）連接DP、AC₁，
∵△ABC₁中，P、D分別為AB、BC₁中點
∴DP∥AC₁，
∵AC₁⊆平面ACC₁A₁，DP?平面ACC₁A₁，
∴DP∥平面ACC₁A₁
（II）由AP=3PB，得PB=

1

4

AB=

1

2

過點D作DE⊥BC于E，則DE∥CC₁且DE=

1

2

CC₁
又∵CC₁⊥平面ABC，∴DE⊥平面BCP
∵CC₁=3，∴DE=

3

2

∵S_△BCP=

1

2

×2×

1

2

×sin60°=

3

4

∴三棱錐B-CDP的體積v=

1

3

×

3

4

×

3

2

=

3

8

點評：本題在直三棱柱中證明線面平行，并求錐體的體積公式，著重考查了線面平行的判定、線面垂直的性質和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．