Question

已知點M在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點F．
（1）若圓M與y軸相切，求橢圓的離心率；
（2）若圓M與y軸相交于A，B兩點，且△ABM是邊長為2的正三角形，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意，應該先設(shè)出點M的坐標及圓的半徑，利用題中的條件建立方程求解即可；
（2）由題意利用所給的條件信息及（1）中的圓的半徑與a，b的關(guān)系和離心率進而求解出橢圓的方程．

解答：解：（1）設(shè)M（x₀，y₀），圓M的半徑為r．
因為橢圓的右焦點的坐標為（c，0），圓M與x軸相切于點F，
所以MF⊥x軸，所以x₀=c，r=|y₀|①
因為點M在橢圓上，所以

x02

a2

+

y02

b2

=1
將上式代入上式得

c2

a2

+

r2

b2

=1，

r2

b2

=1-

c2

a2

=

a2-c2

a2

因為a²-c²=b²所以

r2

b2

=

b2

a2

即：r=

b2

a

②
又因為圓M與y軸相切，所以M到y(tǒng)軸的距離等于半徑r，即：r=|x₀|③
由①，②，③得

b2

a

=c即：b²=ac從而得c²+ac-a²=0
兩邊同除以a²，得：（(

c

a

)2+(

c

a

)-1=0，e=

c

a

，e²+e-1=0
解得：e=

-1± 5

2

因為e∈（0，1）
            故：e=

5 -1

2

．
（2）因為△ABM是邊長為2的正三角形，所以圓M的半徑r=2，
M到圓y軸的距離d=

3

又由（1）知：r=

b2

a

，d=c
所以，c=

3

，

b2

a

=2又因為a²-b²=c²
從而有a²-2a-3=0解得：a=3或a=-1（舍去）b²=2a=6
所求橢圓方程是：

x2

9

+

y2

6

=1

點評：（1）此問重點考查了利用方程的思想先設(shè)出變量在利用條件進行建立方程求解，還考查了橢圓的基本性質(zhì)和學生的運算能力；
（2）此問重點考查了利用所給信息先簡化變量，還考查了一元二次方程的求解方法．