Question

（2012•青島一模）已知點M在橢圓D：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點，若圓M與y軸相交于A，B兩點，且△ABM是邊長為

2 6

3

的正三角形．
（Ⅰ）求橢圓D的方程；
（Ⅱ）設P是橢圓D上的一點，過點P的直線l交x軸于點F（-1，0），交y軸于點Q，若

QP

=2

PF

，求直線l的斜率；
（Ⅲ）過點G（0，-2）作直線GK與橢圓N：

3x2

a2

+

4y2

b2

=1左半部分交于H，K兩點，又過橢圓N的右焦點F₁做平行于HK的直線交橢圓N于R，S兩點，試判斷滿足|GH|•|GK|=3|RF₁|•|F₁S|的直線GK是否存在？請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先確定M的坐標，代入橢圓方程，再利用a²-b²=c²，求出幾何量，即可求橢圓D的方程；
（Ⅱ）設出過點P的直線l，利用

QP

=2

PF

，求得P的坐標，代入橢圓方程，即可求直線l的斜率；
（Ⅲ）設直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，結合|GH|•|GK|=3|RF₁|•|F₁S|，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）因為△ABM是邊長為

2 6

3

的正三角形
所以圓M的半徑r=

2 6

3

，M到y(tǒng)軸的距離為d=

3

2

r=

2

，即橢圓的半焦距c=d=

2

此時點M的坐標為(

2

，

2 6

3

)…（2分）
因為點M在橢圓D：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上
所以

( 2 )2

a2

+

( 2 6 3 )2

b2

=1
又a²-b²=c²=2
解得：a²=6，b²=4
所求橢圓D的方程為

x2

6

+

y2

4

=1…（4分）
（Ⅱ）由題意可知直線l的斜率存在，設直線斜率為k
直線l的方程為y=k（x+1），則有Q（0，k）
設P（x₁，y₁），由于P、Q、F三點共線，且

QP

=2

PF

根據(jù)題意得（x₁，y₁-k）=2（-x₁-1，-y₁），解得

x1=- 2 3 y1= k 3

…（6分）
又P在橢圓D上，故

(- 2 3 )2

6

+

( k 3 )2

4

=1
解得k=±

10 3

3

綜上，直線l的斜率為k=±

10 3

3

．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得：橢圓N的方程為

x2

2

+y2=1…①，
由于F₁（1，0），設直線GK的方程為y=kx-2（k＜0）…②，
則直線RS的方程為y=k（x-1）（k＜0）…③
設H（x₃，y₃），K（x₄，y₄）
聯(lián)立①②消元得：（1+2k²）x²-8kx+6=0，所以x3x4=

6

1+2k2

所以|GH|•|GK|=

x 2 3 +(y3+2)2

•

x 2 4 +(y4+2)2

=

x 2 3 +(kx3)2

•

x 2 4 +(kx4)2

=

6(1+k2)

1+2k2

…（10分）
設R（x₅，y₅），S（x₆，y₆）
聯(lián)立①③消元得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
所以x5+x6=

4k2

1+2k2

，x5x6=

2(k2-1)

1+2k2

y5y6=k2[x5x6-(x5+x6)+1]=

-k2

1+2k2

3|RF1|•|F1S|=3

(x5-1)2+ y 2 5

•

(x6-1)2+ y 2 6

=3

y 2 5 +( y5 k )2

•

y 2 6 +( y6 k )2

=

3(1+k2)

1+2k2

…（13分）
由

6(1+k2)

1+2k2

=

3(1+k2)

1+2k2

，化簡得：k²+1=0，顯然無解，
所以滿足|GH|•|GK|=3|RF₁|•|F₁S|的直線GK不存在．…（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．