Question

7．已知函數(shù)f（x）的值域為[$\frac{3}{8}，\frac{4}{9}$]，求g（x）=f（x）+$\sqrt{1-2f（x）}$的最值．

Answer 1

分析 通過換元得到g（t）=t+$\sqrt{1-2t}$．又設(shè)$\sqrt{1-2t}$=k，求出k的范圍，得到g（k）=-$\frac{{（k-1）}^{2}-2}{2}$，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的值域即可．

解答 解：設(shè)f（x）=t，則$\frac{3}{8}$≤t≤$\frac{4}{9}$．
∴g（t）=t+$\sqrt{1-2t}$．
又設(shè)$\sqrt{1-2t}$=k，故有t=$\frac{1{-k}^{2}}{2}$．
則$\frac{1}{3}$≤k≤$\frac{1}{2}$．（可由t的范圍求得）
故g（k）=$\frac{1{-k}^{2}}{2}$+k=-$\frac{{（k-1）}^{2}-2}{2}$．
∵$\frac{1}{3}$≤k≤$\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)k=$\frac{1}{3}$時，有最小值$\frac{7}{9}$
當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時，有最大值$\frac{7}{8}$，
∴值域[$\frac{7}{9}$，$\frac{7}{8}$]．

點評 本題考查了二次函數(shù)的值域問題，考查換元思想，求出k的范圍，得到g（k）=-$\frac{{（k-1）}^{2}-2}{2}$是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．