Question

如圖，已知圓心為O，半徑為1的圓與直線l相切于點(diǎn)A，一動(dòng)點(diǎn)P自切點(diǎn)A沿直線l向右移動(dòng)時(shí)，取弧AC的長為，直線PC與直線AO交于點(diǎn)M．又知當(dāng)AP=時(shí)，點(diǎn)P的速度為v，求這時(shí)點(diǎn)M的速度．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)AP的長為x，AM的長為y，用x表示y，并用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則對時(shí)間t進(jìn)行求導(dǎo)．
解答：解：如圖，作CD⊥AM，并設(shè)AP=x，AM=y，∠COA=θ，
由題意弧AC的長為，半徑OC=1，可知θ=，考慮θ∈（0，π）．
∵△APM∽△DCM，∴．
∵DM=y-（1-cos），DC=sin，∴
∴．
上式兩邊對時(shí)間t進(jìn)行求導(dǎo)，則y′_t=y′_x•x′_t．
∴y′_t=
當(dāng)時(shí)，x′_t=v，代入上式得點(diǎn)M的速度．
點(diǎn)評：本題是難度較大題目，考查了弦長、弧度、相似、特別是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義；
同時(shí)也考查了邏輯思維能力和計(jì)算能力．