Question

已知直線y=ax+1與雙曲線3x²-y²=1交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求a的取值范圍；
（2）若以AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)直線和雙曲線的位置關(guān)系，即可求a的取值范圍；
（2）根據(jù)條件以AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，消去y，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的值．

解答： 解�。�1）由

y=ax+1 3x2-y2=1

消去y，
得（3-a²）x²-2ax-2=0，
依題意得

3-a2≠0 △＞0

，
即-

6

＜a＜

6

且a≠±

3

．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵（3-a²）x²-2ax-2=0，
∴

x1+x2= 2a 3-a2 x1x2= -2 3-a2

，
∵以AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴OA⊥OB，
即x₁x₂+y₁y₂=0，
則x₁x₂+（ax₁+1）（ax₂+1）=0，
則（a²+1）x₁x₂+a（x₁+x₂）+1=0，
∴（a²+1）•

-2

3-a2

+a•

2a

3-a2

+1=0，
解得a=±1，滿足條件．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷和應(yīng)用，聯(lián)立方程利用根與系數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．